경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2012 · #15

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

lcmmodular-arithmeticprime-factorizationdivisibility-rules identify-subproblemsmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-factorizationlcm

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문제

3, 4, 5, 6으로 각각 나눴을 때 모두 나머지가 2 가 되는, 2 보다 큰 가장 작은 자연수를 구하고, 그 수가 보기의 어느 범위 안에 있는지 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$40\text{ and }50$

(B)

$51\text{ and }55$

(C)

$56\text{ and }60$

(D)

$61\text{ and }65$

(E)

$66\text{ and }99$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

문제는 네 가지 나눗셈 조건을 한꺼번에 묶어 놓았는데, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 깔끔하게 한 단계로 단순해집니다 — 공통 나머지 2를 빼고 "3, 4, 5, 6 모두로 나누어떨어지는 가장 작은 자연수" 즉 최소공배수(LCM) 문제로 바꾸는 것이죠. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 조건을 만족하는 N 의 규칙 — 60k + 2 — 을 읽고 가장 작은 k 를 고른 뒤, 도구 #3(가능성 지우기)로 보기 다섯 개에 그 값을 대 봐 네 범위를 솎아냅니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 이나 모듈러 연산 표기는 "2 만큼 옮기기" 라는 쪼개기 동작 덕분에 굳이 쓸 필요가 없습니다.

1STEP 1

공통 나머지 빼내기

"d 로 나눈 나머지 2" 는 N - 2가 d 의 배수 라는 뜻이고, 네 수에 모두 적용하면 최소 N-2만 찾으면 됩니다.

N 을 3,4,5,6으로 나눈 나머지가 모두 2 ⟺ N - 2는 3,4,5,6 각각의 배수

2STEP 2

최소공배수 구하기

3, 4, 5, 6을 소인수분해해 2², 3, 5를 모으면 최소공배수 = 60.

LCM(3,4,5,6) = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60

6 = 2 × 3은 이미 4의 2와 3의 3 안에 들어 있으므로 새 소인수를 더하지 않습니다 — 그래서 "공짜".

3, 4, 5, 6이 모두 나누어떨어지게 하는 가장 작은 양의 정수는 60이다.

▸ 왜?

60은 실제로 넷 모두로 나누어떨어진다. 60 = 3 × 20 = 4 × 15 = 5 × 12 = 6 × 10이므로 각 약수가 나머지 없이 정수 번 들어간다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

60보다 작은 양의 정수는 하나도 되지 않는다. 넷 모두로 나누어떨어지는 수는 3, 4, 5, 6의 공배수이고, 그 가장 작은 공배수가 곧 최소공배수인 60이기 때문이다.

▸ 왜?

3, 4, 5, 6이 모두 나누어떨어지는 수들은 정확히 하나의 가장 작은 값, 즉 그 최소공배수의 배수들이다. 따라서 그 값이 처음으로 공유되는 수이고, 그보다 작은 수는 넷 모두로 나누어떨어질 수 없다.

최소공배수두 수의 공배수는 그 최소공배수의 배수들과 정확히 같고, 두 주기는 LCM에서 처음 만난다.

▸ 왜?

그 최소공배수는 60이 된다. 넷 모두로 나누어떨어지는 수는 (4의 배수이려면) 2를 두 개, 3을 하나, 5를 하나 지녀야 하며, 딱 그 소인수들로 이루어진 가장 작은 수가 2 × 2 × 3 × 5 = 60이다. 6 = 2 × 3은 이미 들어 있으므로 6은 새로운 요구를 더하지 않는다.

▸ 왜?

4의 배수는 2 × 2를, 3의 배수는 3을, 5의 배수는 5를 반드시 지닌다. 배수는 그 약수를 정수 번 취한 것이라 약수 자신의 인수를 모두 품기 때문이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

요구되는 각 소인수를 강제되는 최소 횟수만 취하고 여분의 인수를 더하지 않으면 그 소인수를 모두 지닌 가장 작은 수가 나온다. 모든 정수는 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱이 되므로, 더 작은 수는 필요한 소인수 하나를 빠뜨려 조건을 어기게 된다.

소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.

6.NS.B.4Identify Subproblems

3STEP 3

후보를 차례로 나열하기

N - 2 = 60k (k = 1, 2, 3, …) 에서 2 보다 큰 최소 N 은 k = 1 일 때 N = 62.

k = 1 → N = 62; k = 2 → N = 122; k = 3 → N = 182; …

4STEP 4

62를 범위와 맞추기

62를 범위들 — 40–50, 51–55, 56–60, 61–65, 66–99 — 에 대 보면 61–65 만 포함해 답은 (D).

61 ≤ 62 ≤ 65 → (D)

정답

61 and 65

N = 62를 직접 확인해 봅시다. 62 = 3 × 20 + 2 (나머지 2, 통과), 62 = 4 × 15 + 2 (통과), 62 = 5 × 12 + 2 (통과), 62 = 6 × 10 + 2 (통과) — 네 조건 모두 성립합니다. 그리고 62 보다 작은 값은 불가능합니다. 더 작은 N 이 있으려면 N - 2가 60 보다 작은 양의 60의 배수여야 하는데 그런 수는 없기 때문이죠. 따라서 62가 최솟값이고, 62는 61–65 범위에 들어가 답은 (D)입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 공통 나머지 2를 빼는 순간 "3, 4, 5, 6의 최소공배수 구하기" 라는 6학년 한 가지 개념으로 줄어들어요!

공통 나머지 빼내기
최소공배수 구하기
후보를 차례로 나열하기
62를 범위와 맞추기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

공통 나머지 빼내기

최소공배수 구하기

후보를 차례로 나열하기

62를 범위와 맞추기

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