AMC 8 · 2012 · #21

학년 6 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

surface-areaarea-rectanglesspatial-visualization identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-rectanglessurface-area

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 10 피트인 흰색 정육면체가 있습니다. 마를라는 각 면 한가운데에 정사각형 모양의 흰 부분을 남기고 그 둘레를 초록색 테두리로 칠하는데, 가진 초록색 페인트 300 제곱피트를 한 방울도 남기지 않고 모두 씁니다. 한 면 가운데에 남은 흰 정사각형의 넓이는 몇 제곱피트일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5\sqrt{2}$

(B)

(C)

$10\sqrt{2}$

(D)

(E)

$50\sqrt{2}$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대칭 이용하기

정육면체의 6 개 면이 똑같은 방식으로 칠해지므로, 대칭에 의해 초록색 페인트 300 제곱피트는 면당 똑같이 6 등분됩니다. 이것이 도구 #11(대칭 이용하기) 의 핵심 — 정육면체 전체를 보지 말고 "한 면" 만 보면 됩니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 한 면 안을 정리합니다: 넓이 100 제곱피트짜리 면은 흰 정사각형 + 초록 테두리 두 조각으로 이루어지므로, 흰 넓이는 그냥 100 에서 초록 넓이를 빼면 됩니다. 제곱근이나 피타고라스 정리는 전혀 필요 없고, 선택지의 √(2) 들은 헷갈리게 하려는 함정입니다.

1STEP 1

정육면체의 각 면은 10×10 정사각형이라 한 면의 넓이는 100 제곱피트입니다.

한 면의 넓이 = 10 × 10 = 100 제곱피트

2STEP 2

대칭에 의해 초록 페인트 300 제곱피트가 6개 면에 똑같이 나뉘어, 한 면당 초록은 50 제곱피트입니다.

면당 초록 넓이 =

\frac{300}{6}

= 50 제곱피트

3STEP 3

한 면에서 가운데 흰 정사각형과 초록 테두리가 빈틈없이 채우므로 두 넓이의 합은 100 제곱피트입니다.

흰 넓이 + 초록 넓이 = 100

4STEP 4

면 전체에서 초록을 빼면 흰 넓이 = 100 - 50 = 50 제곱피트입니다.

흰 넓이 = 100 - 50 = 50 제곱피트 → (D)

정답

정육면체의 전체 겉넓이는 6 × 100 = 600 제곱피트이고, 마를라의 초록 페인트 300 제곱피트는 그 정확히 절반입니다. 즉 각 면에서 초록이 절반(50 제곱피트), 흰색이 나머지 절반(50 제곱피트) 을 차지하므로 답 (D) 50 과 일치합니다. 흰 정사각형은 면 전체(100 제곱피트) 보단 작지만 면의 상당 부분을 차지하는 셈이어서, "가운데 정사각형 + 둘레 테두리" 그림과 잘 맞습니다. 선택지의 5√(2), 10√(2), 50√(2) 같은 무리수는 가운데 흰 정사각형이 면 안에서 45° 기울어져 있다고 잘못 가정한 학생들을 노린 함정인데, 문제에는 기울었다는 단서가 없습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 "정육면체에는 똑같은 면이 6 개 있다" 는 6학년 사실 하나면 풀려요 — 그 다음은 한 면 안에서 100 - 50 = 50 뺄셈입니다.

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