경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2012 · #21
학년 6 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
정육면체의 6 개 면이 똑같은 방식으로 칠해지므로, 대칭에 의해 초록색 페인트 300 제곱피트는 면당 똑같이 6 등분됩니다. 이것이 도구 #11(대칭 이용하기)의 핵심 — 정육면체 전체를 보지 말고 "한 면" 만 보면 됩니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 면 안을 정리합니다: 넓이 100 제곱피트짜리 면은 흰 정사각형 + 초록 테두리 두 조각으로 이루어지므로, 흰 넓이는 그냥 100 에서 초록 넓이를 빼면 됩니다. 제곱근이나 피타고라스 정리는 전혀 필요 없고, 선택지의 √(2) 들은 헷갈리게 하려는 함정입니다.
한 면의 넓이 구하기
정육면체의 각 면은 10×10 정사각형이라 한 면의 넓이는 100 제곱피트입니다.
직사각형의 넓이를 가로 × 세로로 구하는 것은 3학년 넓이 표준 그대로입니다.
3.MD.C.7Work Backwards초록 페인트를 6면에 나누기
대칭에 의해 초록 페인트 300 제곱피트가 6개 면에 똑같이 나뉘어, 한 면당 초록은 50 제곱피트입니다.
겉면을 6 개의 같은 면으로 쪼개서 다루는 것은 6학년 "전개도로 겉넓이 구하기" 의 사고방식 그대로입니다.
모든 면이 같은 양의 초록 페인트를 받으므로, 한 면의 초록 넓이는 전체 300 제곱피트를 여섯 등분한 것과 같다.
▸ 왜?
여섯 면은 모두 똑같은 정사각형이고 가운데 정사각형과 테두리라는 똑같은 무늬를 두르고 있으므로, 어느 한 면이 다른 면보다 초록을 더 많이 가질 수 없다.
▸ 왜?
정육면체를 돌리면 어떤 면이든 다른 면 위에 정확히 포개지고 그 페인트 무늬도 늘어남 없이 함께 옮겨지므로, 한 면의 초록 영역이 다른 면 위에 딱 겹쳐 두 초록 넓이는 같을 수밖에 없다.
▸ 왜?
여섯 면의 초록을 모두 합치면 전체 300 제곱피트이고 여섯 개의 같은 몫이 그 전체를 이루므로, 한 몫은 300을 여섯 등분한 것이다.
▸ 왜?
초록 페인트는 여섯 면 위에 겹침도 빈틈도 없이 놓여 있으므로, 여섯 개의 각 면 초록을 다시 더하면 정확히 300 제곱피트가 된다.
▸ 왜?
같은 여섯 몫을 더해 300이 된다는 것은 300이 한 몫의 여섯 배라는 뜻이므로, 한 몫을 다시 꺼내려면 그 묶음을 300을 여섯으로 나누어 되돌린다.
한 면을 두 부분으로 나누기
한 면에서 가운데 흰 정사각형과 초록 테두리가 빈틈없이 채우므로 두 넓이의 합은 100 제곱피트입니다.
겹치지 않는 영역들의 넓이를 더해서 전체 넓이가 된다는 "넓이의 가법성" 은 4학년 표준입니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems흰 부분 넓이 구하기
면 전체에서 초록을 빼면 흰 넓이 = 100 - 50 = 50 제곱피트입니다.
면 전체에서 초록 조각을 빼면 흰 조각이 남습니다 — 넓이 가법성 그대로의 뺄셈입니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 "정육면체에는 똑같은 면이 6 개 있다" 는 6학년 사실 하나면 풀려요 — 그 다음은 한 면 안에서 100 - 50 = 50 뺄셈입니다.
- 한 면의 넓이 구하기
- 초록 페인트를 6면에 나누기
- 한 면을 두 부분으로 나누기
- 흰 부분 넓이 구하기
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