경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2012 · #5
학년 4 geometry-2d
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AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도형이 닫혀 있으므로 둘레를 한 바퀴 돌면 출발점으로 돌아와야 합니다. 즉 "올라간 거리의 합" 과 "내려간 거리의 합" 이 같아야 합니다(그렇지 않으면 출발점 위나 아래에서 끝나 버립니다). 도구 #1(그림 그리기)로 도형을 따라가며 각 세로 변에 위쪽 화살표 또는 아래쪽 화살표를 표시하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 위쪽 길이는 한 줄에, 아래쪽 길이는 다른 줄에 적어 각각 더합니다. 두 합이 같다는 식을 세우면 X 가 바로 나옵니다 — 어려운 대수 없이 뺄셈 한 번이면 끝납니다.
둘레 한 바퀴 돌기
둘레를 한 바퀴 돌며 각 세로 변에 위·아래 화살표를 표시하고, 가로 변은 잠시 무시합니다.
모든 변이 가로 또는 세로뿐인 직선형 다각형이라는 성질을 알아채는 것은 3학년 도형 속성 단원의 핵심입니다.
3.G.A.1Draw A Diagram올라가는 변 나열하기
둘레를 따라가면 위로 향하는 네 변의 라벨은 6, 1, 2, 1 입니다.
변을 "위쪽" 과 "아래쪽" 으로 나눠 분류하는 것이 빠짐없이 나열하기 도구의 첫 단계입니다.
3.MD.D.8Make A Systematic List올라간 길이 더하기
위쪽 변 길이를 모두 더하면 올라간 총 거리는 10 cm 입니다.
라벨로 주어진 자연수 길이를 더하는 것은 4학년 "여러 단계 문장제" 그대로입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List내려가는 변 나열하기
계속 따라가면 아래로 향하는 변의 라벨은 1, 1, 1, 2, X 입니다(X 는 출발점으로 돌아오는 미지의 변).
같은 "빠짐없이 나열" 동작을 반대 방향에 적용해서 중복 없이 모든 세로 변을 다룹니다.
3.MD.D.8Make A Systematic List내려간 길이 더하기
라벨이 있는 아래쪽 합은 5 이므로 내려간 거리 합은 5 + X 입니다.
라벨 길이들을 하나의 식으로 묶으면 닫힘 조건을 한 줄로 표현할 수 있습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List위아래 길이 같게 놓기
닫힘 조건에서 위 = 아래이므로 10 = 5 + X, 따라서 X = 5 입니다.
나머지 둘레로부터 빠진 한 변의 길이를 찾는 것은 3학년 "둘레로 빠진 변 구하기" 표준을 방향별로 적용한 것입니다.
이 닫힌 직각 도형에서, 위로 향하는 세로 변들의 길이 합은 아래로 향하는 세로 변들의 길이 합과 같다.
▸ 왜?
경계를 한 바퀴 도는 것은 하나의 닫힌 고리라서, 출발한 바로 그 지점에서 끝나 처음과 같은 높이로 돌아오며 전체적으로 오르지도 내리지도 않는다.
▸ 왜?
높이를 바꾸는 것은 세로 변뿐이고, 위로 향하는 변은 그 길이만큼 올리고 아래로 향하는 변은 같은 종류의 길이만큼 내리므로, 오르는 이동과 내리는 이동은 서로를 상쇄하는 반대 동작이다.
▸ 왜?
오르고 내리는 것이 상쇄되어 출발점으로 돌아오므로, 오른 전체 거리는 내린 전체 거리와 같아야 하며, 그렇지 않으면 시작한 곳보다 위나 아래에서 끝나게 된다.
▸ 왜?
오른 전체는 위로 향하는 변 길이들을 모두 이어 붙인 것이고 내린 전체는 아래로 향하는 변 길이들을 모두 이어 붙인 것으로, 각 변들의 묶음은 빈틈도 겹침도 없이 각자의 합을 이룬다.
이 AMC 8 문제는 4학년 수준이면 충분히 풀 수 있어요. 도형이 닫혀 있으면 "올라간 거리" 합과 "내려간 거리" 합이 같아야 하니, 빠진 변은 두 합을 맞춰 주는 길이로 정해집니다.
- 둘레 한 바퀴 돌기
- 올라가는 변 나열하기
- 올라간 길이 더하기
- 내려가는 변 나열하기
- 내려간 길이 더하기
- 위아래 길이 같게 놓기
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