경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2013 · #10
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제 안에는 세 가지 작은 문제가 들어 있습니다 — GCF 구하기, LCM 구하기, 그리고 둘을 나누기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 단계를 분리하면, 두 수를 한 번씩만 소인수분해해도 세 문제가 모두 풀립니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 보조로 씁니다 — 12와 18 같은 작은 수로 먼저 시험해 보면 lcm/gcd = (a · b)/gcd² 라는 깔끔한 지름길이 보이고, 이걸 마지막 검산에 쓸 수 있습니다. 도구 #13(대수)으로 가지 않는 이유는, 모든 단계가 6학년이 직접 확인할 수 있는 작은 산수 동작으로 끝나기 때문입니다.
180을 소인수분해하기
작은 문제 1: 180을 소인수분해하면 2² · 3² · 5.
자연수의 소수 부품을 찾는 것은 4학년 "약수와 배수" 단원 그대로입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems594를 소인수분해하기
작은 문제 2: 594도 같은 방식으로 분해하면 2 · 3³ · 11.
가장 작은 소수부터 차례로 나누는 것이 표준 인수분해 절차입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems최대공약수 읽어내기
작은 문제 3: 공통 소수 2, 3의 작은 지수만 곱하면 GCF = 2¹ · 3² = 18.
GCF는 "두 수가 공유하는 부분" 입니다 — 공통 소수만, 그리고 두 쪽이 모두 가진 만큼만.
6.NS.B.4Identify Subproblems최소공배수 읽어내기
작은 문제 4: 한쪽에만 있는 5, 11까지 넣고 큰 지수를 택하면 LCM = 2² · 3³ · 5 · 11.
LCM은 "두 수가 모두 나누는 가장 작은 수" 이므로 각 소수마다 두 쪽 모두에 충분한 개수를 넣어 줘야 합니다.
180과 594의 최소공배수는 두 수에 나타나는 각 소인수의 지수 중 더 큰 쪽을 택해 만들며, 그 값은 2² · 3³ · 5 · 11이다.
▸ 왜?
2² · 3³ · 5 · 11이라는 수는 180과 594 둘 다로 나누어떨어진다. 각 소수마다 두 수가 쓰는 개수 이상의 복사본을 지니고 있기 때문이다.
▸ 왜?
이렇게 소수별로 나누어떨어짐을 확인할 수 있는 까닭은 모든 자연수가 오직 한 가지 방식으로만 소수로 쪼개지기 때문이며, 그래서 한 수가 다른 수를 나누려면 앞 수의 소인수 복사본이 모두 뒤 수 안에 이미 들어 있어야 한다.
▸ 왜?
이 수는 그러한 공배수 중 가장 작다. 각 소수에 두 지수 중 더 큰 쪽만을 주기 때문인데, 이는 그 소수를 더 많이 필요로 하는 쪽까지 만족시키는 가장 적은 개수이다.
▸ 왜?
만약 어떤 소수에 그보다 적은 복사본을 준다면, 그 소수를 가장 많이 필요로 하는 수가 그 결과를 더 이상 나눌 수 없게 되어, 어떤 더 작은 수도 두 수의 공배수가 될 수 없다.
▸ 왜?
한 수가 다른 수를 나누려면 그 다른 수가 앞 수의 소인수 복사본을 모두 이미 지니고 있어야 하는데, 각 수의 소인수 복사본은 그 수가 소수로 쪼개지는 유일한 방식에 의해 고정되어 있다 — 그래서 어떤 소수가 요구하는 개수에서 단 하나라도 모자라면 나눗셈이 깨진다.
최소공배수를 최대공약수로 나누기
작은 문제 5: 같은 밑끼리 지수를 빼며 나누면 2 · 3 · 5 · 11 만 남습니다.
같은 밑의 나눗셈은 지수의 뺄셈으로 정리됩니다 — 2² · 3³ · 5 · 11 = 5940을 먼저 곱한 다음 18로 나누는 것보다 훨씬 깔끔합니다.
6.EE.A.1Identify Subproblems남은 소수 곱하기
네 소수를 곱하면 2 · 3 · 5 · 11 = 330 → (C).
한 줄의 곱셈 사슬로 큰 수 없이 답이 나옵니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 사실 6학년 소인수분해만으로 풀 수 있어요 — 두 수를 한 번씩 분해해 두면 GCF 와 LCM 을 같은 인수표에서 그대로 읽을 수 있습니다.
- 180을 소인수분해하기
- 594를 소인수분해하기
- 최대공약수 읽어내기
- 최소공배수 읽어내기
- 최소공배수를 최대공약수로 나누기
- 남은 소수 곱하기
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