AMC 8 · 2013 · #13

학년 5 number-theoryarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-decompositionplace-valuemultiples convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

클라라는 시험 점수들을 합산하다가 어떤 한 점수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 실수로 바꿔 적었습니다 (예: 72 를 27 로). 이 한 번의 자리 바꿈 때문에 잘못된 합과 정확한 합이 달라졌습니다. 다섯 개의 선택지 중 이 차이가 될 수 있는 값은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

대수부터 끌어오지 말고 작은 실제 예부터 시도해 봅시다(도구 #9). 두 자리 수 몇 개의 자리를 직접 바꿔 보고 — 72 → 27, 63 → 36, 41 → 14 — 차이를 적습니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 보면 모든 차이가 9 의 배수임이 드러납니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 선택지를 훑어 9 의 배수만 남기면 됩니다. 6학년 대수가 아니라 4학년 "배수" · "자릿값" 으로 풀 수 있는 길입니다.

1STEP 1

직접 몇 개 계산해 봅니다: 72 - 27 = 45, 63 - 36 = 27, 41 - 14 = 27.

72 - 27 = 45, 63 - 36 = 27, 41 - 14 = 27

2STEP 2

세 차이 45, 27, 27 은 모두 9 의 배수 — 85 - 58 = 27 로 한 번 더 확인됩니다.

45 = 9 × 5, 27 = 9 × 3, 85 - 58 = 27 = 9 × 3

3STEP 3

자릿값으로 증명: (10t + u) - (10u + t) = 9(t - u) — 언제나 9 의 배수.

(10t + u) - (10u + t) = 9t - 9u = 9(t - u)

4STEP 4

다섯 선택지를 9 판정법으로 거르면 9 의 배수는 45 뿐 (4+5=9).

45 = 9 × 5 ✓; 46, 47, 48, 49 는 9 의 배수 아님

5STEP 5

실현 가능 확인: 9|t - u| = 45 이려면 |t - u| = 5, 예로 72 - 27 = 45.

9 × |t - u| = 45 → |t - u| = 5; 72 - 27 = 45 → (A)

정답

시도해 본 모든 예 — 72 → 27, 63 → 36, 41 → 14, 85 → 58 — 의 차이가 모두 9 의 배수였습니다. 대수적인 정리 9(t-u) 가 그 이유를 설명해 줍니다. 다섯 선택지 중 9 의 배수는 45 뿐이고, 실제 자리 바꿈 (72 ⇔ 27) 으로도 정확히 45 가 나옵니다. 추론과 실제 예 모두 (A) 를 가리킵니다.

💡핵심 정리

두 자리 수의 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 차이는 늘 9 의 배수 — AMC 의 비밀이 아니라 5학년 자릿값 사실이에요!

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