경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2013 · #15
학년 6 algebraarithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 식은 공유 변수가 없으니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 정답 — 각 식을 독립적으로 풀고 마지막에 곱하면 됩니다. 각 식 안에서는 한쪽 변에 거듭제곱만 남기고 "이 밑(base)의 몇 제곱이 이 수가 되지?" 를 물어보면 됩니다. b¹, b², b³, … 을 순서대로 올려 가며 목표 값과 맞춰 보는 것이 도구 #6(추측하고 확인하기)의 작은 사다리 버전입니다.
p 구하기
90 에서 3⁴ = 81을 빼면 3^p = 9 = 3² 이므로 p = 2.
9 = 3² 임을 알아채는 것이 6학년 "자연수 지수" 표준 그대로입니다.
첫 번째 식 3^p + 3⁴ = 90 은 지수 p 를 하나의 자연수로 확정한다.
▸ 왜?
합 90 에서 이미 아는 항 3⁴ 를 덜어내면 남는 것도 반드시 3 의 거듭제곱이어야 하고, 그 나머지를 3 의 거듭제곱들과 맞춰 보면 p 가 정해진다.
▸ 왜?
3^p + 81 = 90 의 양변에서 3⁴ = 81 을 빼면 3^p = 9 만 홀로 남고, 식은 여전히 균형을 유지한다.
▸ 왜?
양변에서 같은 양을 덜어내면 더한 81 이 되돌려질 뿐 어느 수가 서로 같은지는 바뀌지 않는다 — 뺄셈이 덧셈을 거꾸로 되돌리기 때문이다.
▸ 왜?
아는 항 3⁴ 는 3 을 네 번 곱한 것, 3 × 3 × 3 × 3 = 81 이므로 그 표기 자체가 이를 덜어낼 하나의 수로 확정한다.
▸ 왜?
남은 9 는 3² 와 같고, 3 의 거듭제곱을 차례로 올려 가면(3, 9, 27, …) 9 는 오직 한 지수에서만 나타나므로 p 는 바로 그 지수여야 한다.
▸ 왜?
3² 는 3 을 두 번 곱한 것, 3 × 3 = 9 이다; 사다리를 한 칸 오를 때마다 3 을 한 번 더 곱해 반드시 더 큰 수에 닿으므로 9 는 지수 2 에서 단 한 번만 나온다.
r 구하기
76 에서 44를 빼면 2^r = 32 = 2⁵ 이므로 r = 5.
2의 거듭제곱 (2, 4, 8, 16, 32)을 하나씩 올려 가며 32에 닿는 과정이 도구 #6의 축소판입니다.
6.EE.A.1Guess And Checks 구하기
1421 에서 5³ = 125를 빼면 6^s = 1296이고, 6⁴ = 1296 이므로 s = 4.
1296은 한눈에 알아보기 어렵지만 6을 네 번만 곱해 보면 바로 잡힙니다 — 전형적인 도구 #6 패턴입니다.
6.EE.A.1Guess And Check세 지수 곱하기
세 지수를 곱하면 2 × 5 × 4 = 40, 정답 (B).
작은 문제들이 끝난 뒤 마지막은 그저 3학년 자연수 곱셈입니다.
3.OA.A.1Identify Subproblems식이 셋이라도 방법은 하나: 상수를 떼어 내고 "이 밑의 몇 제곱이 이 수일까?" 만 물으면 끝 — 모두 6학년 지수 실력입니다.
- p 구하기
- r 구하기
- s 구하기
- 세 지수 곱하기
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