경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2013 · #22

학년 4 countingpattern

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionsystematic-enumerationmulti-digit-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticpattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

이쑤시개를 끝과 끝을 이어 직사각형 격자를 만듭니다. 격자의 길이(가로 방향)는 이쑤시개 60 개, 너비(세로 방향)는 이쑤시개 32 개입니다. 각 작은 칸의 모든 변은 이쑤시개 한 개로 이루어지며, 두 칸이 공유하는 이쑤시개는 한 개로만 셉니다. 격자 전체에는 이쑤시개가 모두 몇 개 쓰일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1920

(B)

1952

(C)

1980

(D)

2013

(E)

3932

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

3932 개를 한꺼번에 세는 건 불가능하니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 써서 모든 이쑤시개를 '가로 이쑤시개'와 '세로 이쑤시개' 두 무더기로 갈라 따로 센 뒤 더합니다. 그런데 'n 칸짜리 격자에 왜 세로줄이 n+1 개 필요한가?'를 보려면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 딱입니다 — 2 × 3 같은 작은 격자로 줄여서 직접 세 보면 규칙이 바로 보입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 'n 칸 = n+1 줄' 이 울타리 기둥(fencepost) 규칙임을 눈으로 확인시켜 줍니다.

1STEP 1

작은 격자 먼저 해 보기

먼저 길이 3, 너비 2 인 작은 격자를 그려 직접 세어 보면 이쑤시개 17 개가 나옵니다.

가로 = (2+1) × 3 = 9, 세로 = (3+1) × 2 = 8, 총합 = 17

2STEP 2

규칙으로 일반화하기

규칙을 일반화합니다. 가로 = (W+1) × L, 세로 = (L+1) × W 로 두 무더기로 나누며, n 칸에는 늘 n+1 줄이 필요합니다.

총합 = (W+1) · L + (L+1) · W

'가로 무더기' 와 '세로 무더기' 로 나눠 따로 풀고 합치는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 핵심 동작입니다.

가로로 L칸, 세로로 W칸인 격자에서 이쑤시개의 총 개수는 (W+1) · L + (L+1) · W이다.

▸ 왜?

모든 이쑤시개는 눕혀 놓인 가로 또는 세워 놓인 세로 중 하나이며 둘 다인 것은 없으므로, 전체는 가로 개수와 세로 개수를 더한 것과 같다.

▸ 왜?

가로 무더기와 세로 무더기는 서로 겹치지 않고 함께 모든 이쑤시개를 덮으므로, 두 개수를 더하면 다시 격자 전체가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

세워 놓인 이쑤시개는 고르게 간격을 둔 L+1개의 세로줄을 이루고, 각 줄은 W개가 쌓인 것이므로 (L+1) · W가 된다.

▸ 왜?

일렬로 놓인 L칸은 L+1개의 세로 경계로 막혀 있다 — 각 칸의 왼쪽에 경계 하나씩, 그리고 오른쪽 끝을 막는 경계가 하나 더 있다.

▸ 왜?

각 칸을 그 왼쪽 경계와 짝지으면 칸들은 마지막 하나를 뺀 모든 경계와 일대일로 대응하고, 남는 오른쪽 끝 경계 하나 때문에 경계의 수는 칸의 수보다 정확히 하나 많다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

L+1개의 세로줄은 W개가 쌓인 똑같은 줄들이므로, 그 개수는 W의 같은 묶음 L+1개이며 이것이 바로 곱셈이 재는 것이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

눕혀 놓인 이쑤시개는 고르게 간격을 둔 W+1개의 가로줄을 이루고, 각 줄은 L개로 된 선이므로 (W+1) · L가 된다 — 가로와 세로를 바꾼 같은 울타리 기둥과 같은 묶음 논리이다.

▸ 왜?

세로로 W칸이 쌓인 한 열은 W+1개의 가로 경계로 막혀 있다 — 각 칸 아래에 경계 하나씩, 그리고 맨 위를 막는 경계가 하나 더 있다.

▸ 왜?

각 칸을 그 바로 아래 경계와 짝지으면 칸들은 맨 위 하나를 뺀 모든 경계와 일대일로 대응하고, 남는 맨 위 경계 때문에 경계의 수는 칸의 수보다 정확히 하나 많다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

W+1개의 가로줄은 L개로 된 똑같은 선들이므로, 그 개수는 L의 같은 묶음 W+1개이며 이것이 곱셈이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

4.OA.A.3Identify Subproblems

3STEP 3

세로 이쑤시개 세기

실제 격자에서 세로줄은 60 + 1 = 61 개, 각 줄이 32 개이므로 세로 이쑤시개 = 1952 개.

세로 = 61 × 32 = 1952

4STEP 4

가로 이쑤시개 세기

이어서 가로줄은 32 + 1 = 33 개, 각 줄이 60 개이므로 가로 이쑤시개 = 1980 개.

가로 = 33 × 60 = 1980

5STEP 5

두 수 더하기

두 무더기를 더하면 1952 + 1980 = 3932, 정답은 (E).

1952 + 1980 = 3932 → (E)

정답

3932

어림 검산: 60 × 32 격자에는 칸이 1920 개 있고, 칸마다 변이 4 개씩이라 공유 없이 세면 최대 1920 × 4 = 7680 개. 그런데 거의 모든 내부 변은 두 칸이 공유하므로 실제 값은 이 절반(3840)보다 약간 큰 4000 근처가 나와야 자연스럽습니다. 답 3932는 정확히 그 범위 안에 들어옵니다. 함정 선택지 1920, 1952, 1980은 풀이 중간에 우리가 계산한 값들(칸 수, 세로, 가로)이라, 한 단계만 빼먹으면 그대로 잘못된 답이 되도록 설계돼 있습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 둘로 쪼개기만 하면 단순해져요 — 가로 이쑤시개 세고, 세로 이쑤시개 세고, 더하면 끝. 새로운 아이디어는 'n 칸이면 n+1 줄' 이라는 울타리 기둥 규칙 하나뿐이고, 이건 4학년 패턴이에요.

작은 격자 먼저 해 보기
규칙으로 일반화하기
세로 이쑤시개 세기
가로 이쑤시개 세기
두 수 더하기

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작은 격자 먼저 해 보기

규칙으로 일반화하기

세로 이쑤시개 세기

가로 이쑤시개 세기

두 수 더하기

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