경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2013 · #25

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

arc-measureperimeterarea-circles identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: perimeterarc-measurefraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

지름 4 인치(반지름 r = 2)인 공이 미끄러지지 않고, 반지름이 각각 R₁ = 100, R₂ = 60, R₃ = 80 인치인 반원 세 개로 이어진 트랙 위를 굴러갑니다. 공은 트랙에서 절대 떨어지지 않습니다. A 에서 B 까지 가는 동안 공의 중심이 (접점이 아니라) 이동한 총 거리를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$238\pi$

(B)

$240\pi$

(C)

$260\pi$

(D)

$280\pi$

(E)

$500\pi$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

핵심은 한 장의 그림으로 끝납니다 — 공이 계곡에 놓인 모습과 언덕 위에 놓인 모습을 나란히 그려 보면, 계곡에서는 중심이 그리는 반원이 작아지고(반지름 R - 2), 언덕에서는 커진다(반지름 R + 2)는 ± r 규칙이 한눈에 보입니다 — 이게 도구 #1(그림 그리기)입니다. 그 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 트랙을 세 개의 독립된 반원으로 나누어, 각각 π × 반지름으로 중심 경로 길이를 구하고 합치면 됩니다. 대수도, 어려운 기하도 필요 없고 원 둘레 공식 한 가지를 세 번 쓰는 것뿐입니다.

1STEP 1

골짜기와 언덕 호 그리기

공을 그려 보면, 중심 경로 반지름은 계곡에서 R - r, 언덕에서 R + r 입니다.

계곡: 중심 경로 반지름 = R - r, 언덕: 중심 경로 반지름 = R + r

이 그림 한 장에 문제의 전부가 들어 있습니다. ± r 규칙만 보이면 나머지는 산수입니다.

중심 O, 반지름 R인 반원 궤도 구간에서, 공의 중심은 계곡에서는 반지름 R - r, 언덕에서는 반지름 R + r인 같은 중심의 반원을 그린다.

▸ 왜?

공이 호를 따라 굴러가는 동안 공의 중심은 궤도의 유일한 곡률 중심 O로부터 변하지 않는 하나의 거리를 유지하고, 어떤 중심에서 일정한 거리를 유지하는 점은 그 중심을 도는 원을 그린다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

이 일정한 중심-O 거리는 궤도 반지름을 공 자신의 반지름 r만큼 조정한 값인데, 공의 중심과 접점, 그리고 O가 한 줄로 놓이고 중심과 접점 사이의 간격이 정확히 r이기 때문이다.

▸ 왜?

접점은 공 표면 위에 있어 공의 중심에서 모든 방향으로 정확히 공 반지름 r만큼 떨어져 있으므로, 중심과 궤도 표면은 항상 r만큼 떨어져 있다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

중심이 O를 향해 가장 가깝게 닿는 방향은 반지름을 따라 곧게 뻗은 선이고, 공은 바로 그 반지름이 표면과 만나는 곳에서 궤도에 닿으므로 중심과 접점과 O는 모두 한 직선 위에 놓인다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

그 한 직선 위에서 O부터 표면까지의 궤도 반지름 R 전체는 O-중심 길이에 r 간격을 이어붙인 것이라, 계곡에서는 R - r이 된다; 언덕에서는 중심이 표면보다 r 더 바깥에 있어 길이가 R + r이 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

7.G.B.4Draw A Diagram

2STEP 2

첫 번째 골짜기 호 재기

1번 호 (R₁ = 100)는 계곡이라 중심은 반지름 100 - 2 = 98 인 반원을 그려 길이가 98π 입니다.

L₁ = π × (100 - 2) = 98π

3STEP 3

언덕 호 재기

2번 호 (R₂ = 60)는 언덕이라 중심이 트랙 위로 떠서 경로 반지름은 60 + 2 = 62, 길이가 62π 입니다.

L₂ = π × (60 + 2) = 62π

4STEP 4

두 번째 골짜기 호 재기

3번 호 (R₃ = 80)는 다시 계곡이라 R - r 을 써서 경로 반지름은 80 - 2 = 78, 길이가 78π 입니다.

L₃ = π × (80 - 2) = 78π

5STEP 5

세 호의 길이 더하기

세 중심 경로 길이 L₁ + L₂ + L₃을 더하면 총 이동 거리가 됩니다.

L₁ + L₂ + L₃ = 98π + 62π + 78π = (98 + 62 + 78)π = 238π → (A)

정답

238π

트랙 자체의 길이와 비교해 봅시다. 트랙 세 반원의 길이 합은 100π + 60π + 80π = 240π. 우리 답 238π 와 차이는 2π 인데, 이는 정확히 (-2 + 2 - 2)π — 계곡·언덕·계곡 순서로 ± r 보정을 더한 값입니다(r = 2). 계곡이 두 번, 언덕이 한 번이라 -r 보정이 한 번 더 우세해서 중심 경로가 트랙보다 2π 만큼 짧아졌습니다. 크기와 부호 모두 말이 되고, 선택지 (A) 와도 일치합니다.

💡핵심 정리

그림 하나로 ± r 규칙만 잡아내면, 이 AMC 8 문제는 7학년 원 둘레 공식을 세 번 쓰는 것뿐입니다!

골짜기와 언덕 호 그리기
첫 번째 골짜기 호 재기
언덕 호 재기
두 번째 골짜기 호 재기
세 호의 길이 더하기

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골짜기와 언덕 호 그리기

첫 번째 골짜기 호 재기

언덕 호 재기

두 번째 골짜기 호 재기

세 호의 길이 더하기

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