경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2020 · #24

학년 7 geometry-2dalgebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum
area-rectanglespercentageratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglespercentagelinear-equations-one-var
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
큰 정사각형이 한 변의 길이가 s 인치인 회색 정사각형 타일 n × n 개로 채워져 있고, 타일들 사이와 가장자리에는 너비가 d 인치인 테두리가 들어가 있습니다. 문제의 그림은 n=3 인 경우입니다. n=24 일 때 576 개의 회색 타일이 큰 정사각형 넓이의 64% 를 덮는다면, 비율 ds\frac{d}{s} 의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{6}{25}$
(B)
$\frac{1}{4}$
(C)
$\frac{9}{25}$
(D)
$\frac{7}{16}$
(E)
$\frac{9}{16}$

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

n = 24는 너무 커서 한 줄의 테두리 개수를 손으로 세기 어려우니, 도구 #9로 문제에서 이미 보여 준 n = 3의 작은 경우부터 출발합니다. 작은 경우에서 타일과 테두리의 개수를 세 보면 한 변에 "타일 n 개, 테두리 n+1 개" 라는 규칙이 한눈에 보입니다 — 그림(도구 #1)이 이미 주어져 있으니, 이웃한 타일 사이의 테두리에 양 끝 테두리를 한 번씩 더 세면 됩니다. 이렇게 한 변 길이를 ns + (n+1)d 로 쓴 다음에는, 도구 #13으로 64% 조건을 s 와 d 에 대한 일차방정식으로 옮기면 비율이 바로 떨어집니다.

1STEP 1

한 변의 조각 세기

n=3 그림에서 한 변은 타일 3 개와 테두리 4 개로 이루어져 길이가 3s + 4d 입니다.

한 변(n=3) = 3s + 4d
2STEP 2

일반 변 길이 식 세우기

일반적인 n 에서는 타일 n 개와 테두리 n+1 개라 한 변이 ns + (n+1)d, n=24 면 24s + 25d 입니다.

한 변(n) = n s + (n+1) d → 한 변(24) = 24s + 25d
3STEP 3

두 정사각형 넓이 쓰기

회색 영역은 한 변 24s 라 넓이 (24s)², 큰 정사각형은 한 변 24s + 25d 라 넓이 (24s + 25d)² 입니다.

A_회색 = (24s)², A_큰 = (24s + 25d)²
4STEP 4

64퍼센트를 비로 바꾸기

닮은 정사각형은 넓이 비가 변 비의 제곱이라 64% = (45\frac{4}{5})², 회색 변은 큰 변의 45\frac{4}{5}: 24s24s+25d\frac{24s}{24s + 25d} = 45\frac{4}{5}.

A_회색/A_큰 = 64/100 = (4/5)² → 24s/(24s + 25d) = 4/5
5STEP 5

교차곱하여 비 구하기

내항·외항을 곱하면 120s = 96s + 100d, 즉 24s = 100d 이므로 ds\frac{d}{s} = 625\frac{6}{25}, 답은 (A)입니다.

5 · 24s = 4(24s + 25d) → 120s = 96s + 100d → 24s = 100d → d/s = 24/100 = 6/25 → (A)
정답
6/25
변의 비로 직접 검산합니다. 회색 정사각형의 한 변은 24s, 큰 정사각형의 한 변은 24s + 25d 이므로 변의 비는 45\frac{4}{5} = 0.8 이어야 합니다. ds\frac{d}{s} = 625\frac{6}{25} 를 대입하면 큰 변은 24s + 25 · 625\frac{6}{25}s = 24s + 6s = 30s 이고, 24s30s\frac{24s}{30s} = 45\frac{4}{5} — 제곱하면 1625\frac{16}{25} = 0.64 = 64% 로 문제 조건과 정확히 맞아떨어집니다. 따라서 625\frac{6}{25} 이 옳습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "닮은 도형의 넓이의 비는 변의 비의 제곱" 만 알면 풀 수 있어요!

  • 한 변의 조각 세기
  • 일반 변 길이 식 세우기
  • 두 정사각형 넓이 쓰기
  • 64퍼센트를 비로 바꾸기
  • 교차곱하여 비 구하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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