경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2014 · #13
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
(n, m)의 홀짝 조합은 (짝, 짝), (짝, 홀), (홀, 짝), (홀, 홀)의 네 가지뿐입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 네 경우를 표로 모두 적어 두고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 "n²+m²은 짝수" 라는 조건에 어긋나는 경우를 지워 살아남는 경우만 남깁니다. 그 살아남은 경우들과 각 보기를 대조하면 불가능한 보기가 자연스럽게 드러납니다. 대수식이나 형식적 증명 같은 무거운 도구 대신 작은 홀짝 표 하나면 충분합니다.
홀짝 경우 표로 만들기
(n, m)의 짝·홀 조합 네 가지를 적어요. 제곱은 홀짝을 유지하므로 n²+m²의 홀짝은 n+m 과 같아요.
홀짝 표를 빠짐없이 만들어 보는 것은 4학년 "짝수·홀수, 배수와 약수" 개념을 체계적으로 쓰는 일입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List합이 짝수인 경우 남기기
조건 'n²+m²은 짝수' 로 홀수 결과 두 줄을 지워요. 남는 건 (짝,짝)과 (홀,홀), 즉 n 과 m 의 홀짝이 같아야 해요.
조건에 어긋나는 줄을 지우는 것이 "가능성 지우기" 의 핵심 동작이고, "제곱은 홀짝을 유지하므로 n²+m²의 홀짝은 n+m 과 같다" 는 흐름은 3학년 패턴 추론입니다.
3.OA.D.9Eliminate Possibilities선택지 A, B, C 검사하기
생존 경우 확인: (A) 둘 다 짝수, (B) 둘 다 홀수 모두 되고 (C) n+m 도 짝수 — A, B, C 는 모두 가능해요.
각 선택지가 생존 목록 안에서 실현 가능한지 짝/홀 규칙으로 직접 확인하는 단계입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities선택지 D 검사하기
이제 (D): n+m 이 홀수이려면 하나는 짝·하나는 홀이어야 하지만 생존 경우는 홀짝이 같아요 — n+m 은 절대 홀수가 될 수 없어요.
홀짝이 같은 두 정수의 합은 언제나 짝수이므로 홀수 합은 곧바로 배제됩니다 — 가능성 지우기로 답이 바로 나옵니다.
n²+m²이 짝수라는 조건에서 n+m은 결코 홀수가 될 수 없다.
▸ 왜?
n+m이 홀수가 되려면 n과 m의 짝홀이 서로 달라야 — 하나는 짝수, 하나는 홀수여야 — 하는데, 주어진 조건은 둘의 짝홀을 같게 만들므로 그런 어긋남은 일어나지 않고 합은 짝수로 남는다.
▸ 왜?
조건은 n과 m의 짝홀을 같게 만든다: 제곱은 밑수와 같은 짝홀을 가지므로, n²+m²이 짝수라는 것은 n²과 m²이 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수라는 뜻이고, 따라서 n과 m도 그렇다.
▸ 왜?
제곱이 밑수와 같은 짝홀을 갖는 까닭은 k²이 k를 자기 자신과 곱한 것이기 때문이다: 짝수 곱하기 무엇이든 짝수이고 홀수 곱하기 홀수는 홀수로 남으므로, n²은 n과, m²은 m과 같은 짝홀이다.
▸ 왜?
두 수가 짝수 합이 되는 것은 오직 둘의 짝홀이 같을 때뿐이다: 짝수는 나머지 없이 두 개의 같은 묶음으로 나뉘고, 한쪽에만 남는 하나는 짝지을 상대가 없으므로, n²+m²이 짝수이려면 n²과 m²의 짝홀이 같아야 한다.
▸ 왜?
n과 m의 짝홀이 같으면 합은 두 개의 같은 묶음으로 깔끔히 나뉜다: 짝수 + 짝수는 나머지가 없고, 홀수 + 홀수는 두 나머지가 짝지어 한 묶음을 더 이루므로, 합은 짝수이고 결코 홀수가 아니다.
선택지 E 지우기
(D)는 불가능하고 (A), (B), (C)는 가능하므로 (E)는 거짓 — 정답은 (D) 하나뿐이에요.
생존 과정을 끝까지 거치면 단 하나의 보기만 남아 "불가능한 경우" 로 확정됩니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 4학년 짝수·홀수 규칙 하나면 풀려요 — 제곱은 홀짝을 유지하니까 n²+m²과 n+m 의 홀짝이 항상 같거든요!
- 홀짝 경우 표로 만들기
- 합이 짝수인 경우 남기기
- 선택지 A, B, C 검사하기
- 선택지 D 검사하기
- 선택지 E 지우기
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