AMC 8 · 2014 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

inscribed-anglearc-measureequal-spacing identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleequal-spacing

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

중심이 O 인 원의 둘레가 12 개의 같은 호로 나뉘어 있고, 끊긴 지점들이 차례대로 A, B, C, …, L 로 표시되어 있습니다. 그림 안에서 각 x 는 E–A–G 경로의 꼭짓점 A 에서 만들어지는 각(x = ∠ EAG)이고, 각 y 는 A–G–I 경로의 꼭짓점 G 에서 만들어지는 각(y = ∠ AGI)입니다. x + y 의 값을 도(°) 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

120

(E)

150

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

그림이 복잡해 보이지만 묻는 것은 x + y 뿐이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (a) 작은 호 하나의 크기, (b) x 의 값, (c) y 의 값 — 이렇게 세 개의 작은 문제로 나눕니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 수단입니다 — 그림에 반지름 OE, OG, OA, OI 를 추가로 그어 두면, 원 위에서 만들어지는 각들이 모두 "반지름 두 개로 이루어진 이등변삼각형" 두 개로 쪼개집니다. 그러면 원주각 정리를 블랙박스로 외울 필요 없이, 삼각형 내각합과 직선 180° 만으로 중심각으로부터 x, y 를 구할 수 있습니다.

1STEP 1

12 개의 같은 호가 360° 를 채우므로, 작은 호 하나(중심각)는 $\frac{360°}{12}$ = 30° 입니다.

작은 호 하나 =

\frac{360°}{12}

= 30°

2STEP 2

반지름 OE, OA, OG 를 그으면 호 E→G 는 작은 호 2 개라 ∠ EOG = 60°, OA = OE = OG 로 삼각형은 이등변입니다.

∠ EOG = 2 · 30° = 60°; OA = OE = OG

3STEP 3

반지름 삼각형이 이등변이라 내각합을 정리하면 x 는 ∠ EOG 의 절반 — x = 30° 입니다.

x =

\frac{1}{2}

· ∠ EOG =

\frac{1}{2}

· 60° = 30°

4STEP 4

y = ∠ AGI 도 마찬가지 — 작은 쪽 호 A→I 가 4 개라 ∠ AOI = 120°, 따라서 y = 60° 입니다.

∠ AOI = 4 · 30° = 120°; y =

\frac{1}{2}

· 120° = 60°

5STEP 5

두 조각을 더하면 x + y = 30° + 60° = 90° — 선택지 (C) 입니다.

x + y = 30° + 60° = 90° → (C)

정답

작은 호 하나가 30°, x 는 2 개 호 위, y 는 4 개 호 위에 얹혀 있어 호 합계가 6 개 = 180° 입니다. 원 위(원주각) 합은 그 절반인 90° — 선택지 (C) 와 정확히 일치합니다. 그림에서도 x, y 가 예각으로 보이고 대략 30°, 60° 정도여서 직관과도 맞습니다.

💡핵심 정리

각의 꼭짓점이 원 위에 있을 때, 그 두 변까지 반지름을 그어 보면 이등변삼각형이 두 개 생기고 — 삼각형 내각합만으로 그 각이 "받침이 되는 호의 절반" 이라는 사실이 자연스럽게 나옵니다.

비슷한 유형 더 풀어보기