AMC 8 · 2014 · #2

학년 3 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

multiplesdivisibility-rulesmental-arithmetic systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmultiples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

폴은 5센트, 10센트, 25센트 동전을 원하는 만큼 가지고 있고, 폴라에게 정확히 35센트를 지불해야 합니다. 35센트를 만드는 모든 동전 조합 중에서 동전 개수가 가장 많은 경우와 가장 적은 경우의 차이는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"최댓값 빼기 최솟값" 은 사실 두 개의 최적화 문제가 뺄셈으로 묶여 있는 형태이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "최대 개수 구하기 → 최소 개수 구하기 → 빼기" 의 세 단계로 나누면 깔끔합니다. 두 부분 문제의 전략은 정반대입니다 — 개수를 최대화하려면 가장 작은 동전을 최대한 많이, 최소화하려면 가장 큰 동전부터(탐욕적으로) 씁니다. 도구 #17(나누어떨어짐 따져 보기)은 두 극값이 실제로 가능한지 확인해 줍니다 — 35 가 5 의 배수이므로 모두 니켈로 지불 가능하고, 35 = 25 + 10 이므로 두 개로도 지불 가능합니다.

1STEP 1

가장 적은 개수: 큰 동전부터 — 25센트 하나에 10센트 하나면 35, 그래서 최솟값은 2개.

25 + 10 = 35 → 최소 개수 = 2

2STEP 2

가장 많은 개수: 가장 작은 동전만 — 35는 5의 배수라 35 ÷ 5 = 7개가 최댓값.

35 ÷ 5 = 7 → 최대 개수 = 7

3STEP 3

두 개수를 빼면 구하는 차이: 7 - 2 = 5.

7 - 2 = 5 → (E)

정답

양 끝값을 직접 점검합니다. 최솟값: 25 + 10 = 35 로 2 개. 허용된 동전 두 개로 35 을 만드는 다른 조합은 없고(25 + 5 = 30, 10 + 10 = 20 등), 동전 한 개로는 35 가 불가능하므로 2 가 진짜 최솟값입니다. 최댓값: 7 × 5 = 35 로 7 개. 니켈 두 개를 다임 한 개로 바꾸는 등 어떤 교환도 개수를 줄이므로 7 이 진짜 최댓값입니다. 차이 7 - 2 = 5 로 선택지 (E) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 3학년 나눗셈 (35 ÷ 5) 한 번과 2학년 덧셈·뺄셈만 있으면 충분해요 — "가장 적은 동전" 과 "가장 많은 동전" 두 작은 문제로 쪼개고, 마지막에 한 번 빼면 끝!

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