경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2014 · #21

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

divisibility-rulesdigit-summodular-arithmetic digit-constraintsmodular-arithmeticsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmodular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 개의 7자리 수 74A52B1과 326AB4C 가 모두 3의 배수입니다. 미지의 숫자 A, B, C 는 각각 0부터 9 사이의 한 자리 숫자입니다. 선택지 중 C 가 될 수 있는 값은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 미지수 A, B 는 두 수에 모두 등장하지만, C 는 두 번째 수에만 나타납니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 첫 번째 수의 배수 조건에서 A + B 에 대한 정보를 뽑고, (2) 그 정보를 두 번째 수의 조건에 넣어 C 만의 조건으로 줄이는 식으로 두 단계로 나누면 깔끔합니다. 마지막에 도구 #3(가능성 제거하기)으로 다섯 개의 선택지 중 우리가 찾은 C 조건을 만족하는 것 하나만 남기면 끝납니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 자연스러운 보조 수단으로, 각 선택지를 직접 배수 조건에 대입해 검증할 수 있습니다.

1STEP 1

첫 번째 배수 조건 쓰기

첫 번째 수 74A52B1: 아는 자리합이 19 이므로 19 + A + B 가 3의 배수, 즉 1 + A + B 가 3의 배수.

7 + 4 + 5 + 2 + 1 = 19, 19 + A + B = 18 + (1 + A + B) → 1 + A + B 가 3의 배수

2STEP 2

두 번째 배수 조건 쓰기

두 번째 수 326AB4C: 아는 자리합이 15로 이미 3의 배수이니 남은 A + B + C 가 3의 배수.

3 + 2 + 6 + 4 = 15, 15 + A + B + C 가 3의 배수 → A + B + C 가 3의 배수

3STEP 3

두 조건 합치기

결합: 1단계는 A + B ≡ 2 (mod 3), 2단계는 A + B + C ≡ 0 (mod 3); 빼면 C ≡ 1 (mod 3) 남습니다.

A + B ≡ 2 (mod 3), A + B + C ≡ 0 (mod 3) → C ≡ 1 (mod 3)

두 조건을 서로 빼서 한 변수만 남기는 것은 6학년 "방정식을 어떤 값이 참으로 만드는지 묻는 질문으로 보기" 의 핵심 — 변수 대입 아이디어 그대로입니다.

숫자 C는 3으로 나눈 나머지가 반드시 1이어야 한다.

▸ 왜?

첫 번째 수 74A52B1이 3의 배수이므로, 이는 A+B가 3으로 나눈 나머지가 2가 되도록 못 박는다.

▸ 왜?

어떤 자연수가 3의 배수인 것은 그 각 자리 숫자의 합이 3의 배수일 때와 정확히 같다. 자리값 1, 10, 100, …이 모두 3으로 나눈 나머지가 1이라, 수와 그 숫자 합은 길이 3의 반복되는 나머지 주기에서 같은 자리에 놓이기 때문이다. 따라서 7+4+A+5+2+B+1 = 19+A+B가 3의 배수여야 한다.

주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.

▸ 왜?

19는 18과 1로 갈라지고 18은 이미 3의 배수이므로, 남은 1+A+B만이 나머지를 채울 수 있다. 그래서 1+A+B가 3의 배수가 되고 A+B는 3의 배수보다 하나 모자란 곳에 놓인다 — 나머지 2.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

두 번째 수 326AB4C가 3의 배수이므로, 이는 A+B+C가 3의 배수가 되도록 강제한다.

▸ 왜?

같은 숫자 합 판정법에 따라, 두 번째 수의 숫자 합 3+2+6+A+B+4+C = 15+A+B+C가 3의 배수여야 한다.

주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.

▸ 왜?

15는 이미 3의 배수이므로, 그것을 덜어내면 A+B+C가 스스로 3의 배수여야 하는 부분으로 남는다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

C를 (A+B+C) - (A+B)로 쓰면 나머지 2인 양을 3의 배수에서 빼는 셈이고, 3으로 나눈 나머지는 0, 1, 2의 반복 주기를 돌기 때문에 0에서 2만큼 뒤로 물러나면 1에 도착한다.

주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.

6.EE.B.5Identify Subproblems

4STEP 4

선택지 다섯 개 검사하기

각 선택지를 3으로 나눈 나머지: 1→1, 2→2, 3→0, 5→2, 8→2 — 나머지가 1 인 것은 1 뿐.

1 ÷ 3 → r = 1, 2 ÷ 3 → r = 2, 3 ÷ 3 → r = 0, 5 ÷ 3 → r = 2, 8 ÷ 3 → r = 2

5STEP 5

맞는 값 고르기

3으로 나눈 나머지가 1 인 선택지는 C = 1 하나뿐이므로 답은 (A)입니다.

C = 1 → (A)

정답

구체적인 A, B 로 검산해 봅시다. A = 1, B = 1로 두면 A + B = 2 (3으로 나눈 나머지 2, 1단계 조건 만족). 첫 번째 수 7411521의 자리합은 7+4+1+1+5+2+1 = 21 = 3 × 7로 3의 배수. C = 1을 넣은 두 번째 수 3261141의 자리합은 3+2+6+1+1+4+1 = 18 = 3 × 6으로 역시 3의 배수. 두 검산이 모두 통과하므로 C = 1이 실제로 작동하며, 답 (A)가 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "자리합으로 3의 배수 알아보기" 와 6학년의 "두 조건을 동시에 만족하는 값 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

첫 번째 배수 조건 쓰기
두 번째 배수 조건 쓰기
두 조건 합치기
선택지 다섯 개 검사하기
맞는 값 고르기

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첫 번째 배수 조건 쓰기

두 번째 배수 조건 쓰기

두 조건 합치기

선택지 다섯 개 검사하기

맞는 값 고르기

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