경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2014 · #22
학년 3 algebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
선택지가 일의 자릿수 5 개 (1, 3, 5, 7, 9) 뿐이므로 하나씩 직접 시험해 볼 수 있습니다. 각 후보 b 에 대해 간단한 십의 자릿수 (예: a = 2)를 잡고 10a + b 가 a × b + a + b 와 같은지 확인합니다. 시험은 도구 #6 (추측하고 확인하기), 실패한 후보는 도구 #3 (가능성 지우기)으로 지웁니다. 두세 번 시험해 보면 일정한 패턴이 보이므로 (도구 #5), 대수식 없이도 답을 확정할 수 있습니다.
21 검사하기
b = 1, a = 2 (수 21): (2 × 1) + (2 + 1) = 5 ≠ 21 → (A) 제거.
한 자릿수끼리의 곱셈과 덧셈은 3학년 유창성(fluency) 기능입니다.
3.OA.C.7Guess And Check23 검사하기
b = 3, a = 2 (수 23): (2 × 3) + (2 + 3) = 11 ≠ 23 → (B) 제거.
한 번 실패할 때마다 선택지 하나가 지워집니다 — 객관식 문제에서의 전형적인 도구 #3 동작.
3.OA.C.7Eliminate Possibilities차이의 규칙 찾기
패턴 관찰: 수에서 (곱 + 합)을 빼면 a × (9 - b) 가 되고, 이 값이 0이 되는 것은 b = 9 일 때뿐.
차이에서 공통 인수 a 를 묶어 내는 것은 본격적인 대수가 아니라 3학년 분배 법칙 관찰입니다.
두 자리 수가 (두 자리 숫자의 곱 더하기 두 자리 숫자의 합)을 넘어서는 양은 정확히 십의 자리 숫자 곱하기 (9 - 일의 자리 숫자)이다.
▸ 왜?
십의 자리 숫자가 a이고 일의 자리 숫자가 b인 두 자리 수는 10a + b의 값을 가진다. 십의 자리는 온전한 십을 세고 일의 자리는 낱개의 일을 세기 때문이다.
▸ 왜?
그래서 넘어서는 양은 (10a + b) - (ab + a + b)이고, 이 식을 정리하면 a × (9 - b)로 줄어든다.
▸ 왜?
일의 자리 숫자 b는 합 안에서 한 번 더해지고 뺄셈에서 한 번 빼지므로, 이 두 개의 b가 서로 지워지고 10a - a - ab만 남는다.
▸ 왜?
남은 10a - a - ab는 모든 항에 a가 들어 있으므로 a를 밖으로 묶어내면 a × (10 - 1 - b), 즉 a × (9 - b)가 된다.
남은 선택지 확인하기
남은 후보: (2 × 5) + (2 + 5) = 17 ≠ 25, (2 × 7) + (2 + 7) = 23 ≠ 27 → (C), (D) 제거.
차이 공식이 예측한 2 × (9-5) = 8, 2 × (9-7) = 4가 실제 차이 25 - 17, 27 - 23과 정확히 일치합니다 — 패턴이 확인됩니다.
3.OA.C.7Eliminate Possibilities일의 자리 9 검사하기
b = 9 시험: 29 = (2 × 9) + (2 + 9), 59 = (5 × 9) + (5 + 9) 모두 성립 → 일의 자릿수 9, (E).
서로 다른 두 개의 십의 자릿수로 확인했더니 b = 9가 모든 a 에서 성립함을 알 수 있습니다 — 3학년 두 단계 문장제 확인 절차.
3.OA.D.8Guess And Check이 AMC 8 문제는 3학년에서 배운 "곱하고 더해서 확인하기" 만으로 풀려요. 선택지를 하나씩 시험해 보면 답인 일의 자릿수가 저절로 드러납니다!
- 21 검사하기
- 23 검사하기
- 차이의 규칙 찾기
- 남은 선택지 확인하기
- 일의 자리 9 검사하기
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