AMC 8 · 2014 · #24

학년 6 arithmeticlogic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangeoptimization-countingbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어느 날 100 명의 손님이 총 252 캔의 음료를 샀고, 모든 손님이 적어도 1 캔은 샀습니다. 손님별 캔 수를 작은 순서대로 늘어놓아 c₁ ≤ c₂ ≤ … ≤ c₁00 이라 할 때, 중앙값(median) 은 c₅0 과 c₅1 의 평균입니다. 이 중앙값이 가질 수 있는 최댓값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2.5

(B)

3.0

(C)

3.5

(D)

4.0

(E)

4.5

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

c₅0, c₅1 을 가능한 크게 만들고 싶지만 252 캔이라는 예산은 100 명이 함께 나눠 씁니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 질문을 뒤집습니다 — "중앙 두 명을 얼마나 크게?" 가 아니라 "나머지를 얼마나 작게?" 로 봅니다. 다른 사람에게서 아낀 캔이 곧 중앙 두 명에게 줄 수 있는 캔이기 때문입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 정렬된 목록을 세 덩어리 — 중앙 아래 49 명, 중앙쌍 (c₅0, c₅1), 중앙 위 49 명 — 으로 나눠 각각 다루게 해 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 작은 버전(예: 손님 6 명, 캔 14 개)에서 같은 논리를 확인해 본 뒤 100 명짜리에 적용하기 위한 검증용입니다.

1STEP 1

정렬된 목록을 세 덩어리로 나눕니다: 낮은 49 명, 중앙쌍 (c₅0, c₅1), 높은 49 명 — 합은 252.

c₁ + … + c₄9_낮은 49 + c₅0 + c₅1_중앙쌍 + c₅2 + … + c₁00_높은 49 = 252

2STEP 2

낮은 49 명에게 각자 최소 1 캔씩만 주면 낮은 덩어리는 49 캔, 나머지는 중앙 몫으로 남습니다.

c₁ = c₂ = … = c₄9 = 1, 합 = 49 × 1 = 49

3STEP 3

총합 252 에서 낮은 덩어리를 빼면 중앙쌍 + 높은 덩어리(51 명) 몫으로 203 캔이 남습니다.

c₅0 + c₅1 + … + c₁00 = 252 - 49 = 203

4STEP 4

높은 값을 c₅1 로 두고 203 을 51 명에 고르게 나눕니다: 203 = 50 × 4 + 3, 즉 50 명 4 캔, 한 명 3 캔.

203 ÷ 51 = 3 나머지 50, 즉 203 = 50 × 4 + 1 × 3

5STEP 5

정렬을 지키려면 3 캔인 한 명이 c₅0 에 오므로 c₅0 = 3, c₅1 = 4, 중앙값은 $\frac{3 + 4}{2}$ .

c₅0 = 3, c₅1 = 4, 중앙값 =

\frac{3 + 4}{2}

= 3.5 → (C)

정답

3.5

검산: 평균은

\frac{252}{100}

= 2.52 입니다. 중앙값이 평균보다 커지려면 아래쪽을 짓누르고 위쪽을 평평하게 들어 올려야 하는데, 그게 우리가 한 일입니다. 낮은 49 명을 1 로 내리면 49 × 1.52 ≈ 75 캔을 아껴서, 그 캔으로 위쪽 51 명을 공평한 몫 2.52 에서 거의 4 까지 끌어올렸습니다. 위쪽 덩어리 평균

\frac{203}{51}

≈ 3.98 보다 약간 아래인 중앙값 3.5 는 자연스럽습니다. 더 위로 못 미는 이유: 만약 c₅0 ≥ 4 라면 위쪽 51 명 합이 최소 4 × 51 = 204 ＞ 203 이 되어 모순입니다.

💡핵심 정리

정렬된 줄의 한가운데를 최대한 크게 만들고 싶다면, 바닥은 규칙이 허락하는 만큼 낮춰 두세요 — 그렇게 아낀 자원이 곧 가운데를 끌어올릴 힘이 됩니다!

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