경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2014 · #24

학년 6 arithmeticlogic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangeoptimization-countingbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어느 날 100 명의 손님이 총 252 캔의 음료를 샀고, 모든 손님이 적어도 1 캔은 샀습니다. 손님별 캔 수를 작은 순서대로 늘어놓아 c₁ ≤ c₂ ≤ … ≤ c₁₀₀이라 할 때, 중앙값(median)은 c₅₀과 c₅₁의 평균입니다. 이 중앙값이 가질 수 있는 최댓값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2.5

(B)

3.0

(C)

3.5

(D)

4.0

(E)

4.5

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

c₅₀, c₅₁을 가능한 크게 만들고 싶지만 252 캔이라는 예산은 100 명이 함께 나눠 씁니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 뒤집습니다 — "중앙 두 명을 얼마나 크게?" 가 아니라 "나머지를 얼마나 작게?" 로 봅니다. 다른 사람에게서 아낀 캔이 곧 중앙 두 명에게 줄 수 있는 캔이기 때문입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 정렬된 목록을 세 덩어리 — 중앙 아래 49 명, 중앙쌍 (c₅₀, c₅₁), 중앙 위 49 명 — 으로 나눠 각각 다루게 해 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 작은 버전(예: 손님 6 명, 캔 14 개)에서 같은 논리를 확인해 본 뒤 100 명짜리에 적용하기 위한 검증용입니다.

1STEP 1

명단을 세 덩어리로 나누기

정렬된 목록을 세 덩어리로 나눕니다: 낮은 49 명, 중앙쌍 (c₅₀, c₅₁), 높은 49 명 — 합은 252.

c₁ + … + c₄₉_낮은 49 + c₅₀ + c₅₁_중앙쌍 + c₅₂ + … + c₁₀₀_높은 49 = 252

2STEP 2

아래쪽 덩어리 최소로 잡기

낮은 49 명에게 각자 최소 1 캔씩만 주면 낮은 덩어리는 49 캔, 나머지는 중앙 몫으로 남습니다.

c₁ = c₂ = … = c₄₉ = 1, 합 = 49 × 1 = 49

3STEP 3

아래쪽 덩어리 빼기

총합 252 에서 낮은 덩어리를 빼면 중앙쌍 + 높은 덩어리(51 명) 몫으로 203 캔이 남습니다.

c₅₀ + c₅₁ + … + c₁₀₀ = 252 - 49 = 203

4STEP 4

남은 양을 51명에게 나누기

높은 값을 c₅₁로 두고 203을 51 명에 고르게 나눕니다: 203 = 50 × 4 + 3, 즉 50 명 4 캔, 한 명 3 캔.

203 ÷ 51 = 3 나머지 50, 즉 203 = 50 × 4 + 1 × 3

203 ÷ 51을 몫과 나머지로 나누는 것은 5학년 긴 나눗셈 — 몫 3, 나머지 50은 "50 명이 한 캔씩 더 받는다" 는 뜻입니다.

남은 203캔을 상위 51명에게 캔이 허락하는 한 고르게 나누면 가운데 두 사람을 가장 높이 끌어올릴 수 있고, 그 결과 50번째 손님은 3캔, 51번째부터 위쪽 손님은 모두 4캔을 갖는다.

▸ 왜?

50번째 손님의 수는 4에 이를 수 없다. 정렬된 줄에서는 50번째부터 위쪽 51명이 모두 50번째만큼은 가지므로, 각자 4캔이면 204캔이 필요한데 남은 것은 203캔뿐이기 때문이다.

▸ 왜?

50번째가 최소 4캔을 가지면, 51번째부터 위쪽 손님은 모두 50번째만큼은 가지므로 각자도 최소 4캔을 갖게 된다. 정렬된 줄은 오른쪽으로 갈수록 결코 줄어들지 않기 때문이다.

부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.

▸ 왜?

51명이 각자 최소 4캔을 가지려면 4가 51개, 즉 204캔이 필요하다.

▸ 왜?

4캔짜리 같은 묶음 51개는 51 곱하기 4이고, 같은 묶음은 곱셈으로 쌓여 204가 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

이 블록의 캔은 51개의 낱낱 수를 더한 것이므로, 각 수가 최소 4라면 그 합은 최소 204이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

50번째 손님에게 3캔, 상위 블록의 나머지 50명에게 각각 4캔을 주는 것은 실제로 유효한 배치이다. 그 수들이 정확히 손에 쥔 203캔으로 다시 더해지고, 왼쪽에서 오른쪽으로 여전히 커지기(1, 그다음 3, 그다음 4) 때문이다.

▸ 왜?

4캔짜리 손님 50명은 4가 50개, 즉 200캔이고, 여기에 3캔짜리 손님 한 명을 더하면 모두 203캔이 된다.

▸ 왜?

4캔짜리 같은 묶음 50개는 50 곱하기 4, 즉 200캔이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

상위 블록의 캔은 한 전체의 낱낱 부분이므로, 200과 3이 합쳐져 온전한 203이 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

5.NBT.B.6Change Focus Count The Complement

5STEP 5

가운데 두 값 평균 내기

정렬을 지키려면 3 캔인 한 명이 c₅₀에 오므로 c₅₀ = 3, c₅₁ = 4, 중앙값은 $\frac{3 + 4}{2}$ .

c₅₀ = 3, c₅₁ = 4, 중앙값 = (3 + 4)/2 = 3.5 → (C)

정답

3.5

검산: 평균은

\frac{252}{100}

= 2.52입니다. 중앙값이 평균보다 커지려면 아래쪽을 짓누르고 위쪽을 평평하게 들어 올려야 하는데, 그게 우리가 한 일입니다. 낮은 49 명을 1로 내리면 49 × 1.52 ≈ 75 캔을 아껴서, 그 캔으로 위쪽 51 명을 공평한 몫 2.52 에서 거의 4까지 끌어올렸습니다. 위쪽 덩어리 평균

\frac{203}{51}

≈ 3.98 보다 약간 아래인 중앙값 3.5는 자연스럽습니다. 더 위로 못 미는 이유: 만약 c₅₀ ≥ 4 라면 위쪽 51 명 합이 최소 4 × 51 = 204 ＞ 203이 되어 모순입니다.

💡핵심 정리

정렬된 줄의 한가운데를 최대한 크게 만들고 싶다면, 바닥은 규칙이 허락하는 만큼 낮춰 두세요 — 그렇게 아낀 자원이 곧 가운데를 끌어올릴 힘이 됩니다!

명단을 세 덩어리로 나누기
아래쪽 덩어리 최소로 잡기
아래쪽 덩어리 빼기
남은 양을 51명에게 나누기
가운데 두 값 평균 내기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

명단을 세 덩어리로 나누기

아래쪽 덩어리 최소로 잡기

아래쪽 덩어리 빼기

남은 양을 51명에게 나누기

가운데 두 값 평균 내기

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