AMC 8 · 2015 · #20

학년 6 algebraarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

linear-diophantinesystems-of-equationssystematic-enumeration systematic-enumerationconvert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

랄프는 양말 12 켤레를 사서 총 24 를 냈습니다. 한 켤레 가격은 1, 3, 4 중 하나이고, 세 가격 모두 적어도 한 켤레씩 샀습니다. 1 짜리 양말은 몇 켤레 샀을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

가격은 세 가지뿐이고 총 켤레 수도 12 로 작아서 후보가 많지 않습니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 4 켤레 수를 순서대로 늘려가며 가능한 (y, z) 만 추려내면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 지름길을 줍니다 — 모든 12 켤레가 1 라면 총액은 12 에 불과하므로, 비싼 양말로 바꿔서 12 의 "추가 비용" 을 만들어 줘야 합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전망입니다 — 선택지 A~E가 1 켤레 수를 직접 주므로, 필요하면 후보를 하나씩 대입해 확인할 수 있습니다.

1STEP 1

12켤레가 모두 1이면 12인데 실제는 24 — 비싼 양말이 12의 추가 비용을 더해야 합니다.

12 × 1 = 12, 24 - 12 = 12 달러의 추가 비용 필요

2STEP 2

3짜리는 기준보다 2, 4짜리는 3 더 비싸므로, 개수를 y·z라 하면 추가 비용 식은 2y + 3z = 12.

(3-1)=2 y + (4-1)=3 z = 12 → 2y + 3z = 12

3STEP 3

2y + 3z = 12에서 z = 1, 2, 3, …을 넣어 y가 양의 정수인 경우만 남기면 z = 2, y = 3뿐입니다.

z & 2y = 12 - 3z & y ; 1 & 9 & 4.5 (탈락: 정수 아님) ; 2 & 6 & 3 (채택) ; 3 & 3 & 1.5 (탈락: 정수 아님) ; 4 & 0 & 0 (탈락: z ≥ 1, y ≥ 1 위반)

4STEP 4

y = 3, z = 2이므로 총 켤레 식 x + y + z = 12에서 x = 12 - 3 - 2 = 7.

x + y + z = 12 → x = 12 - 3 - 2 = 7

5STEP 5

원래 조건으로 확인: 7 + 3 + 2 = 12켤레, 7×1 + 3×3 + 2×4 = 24, 각 가격 사용 — (D)와 일치.

켤레 수: 7 + 3 + 2 = 12 ✓ 금액: 7(1) + 3(3) + 2(4) = 7 + 9 + 8 = 24 ✓ 각 가격 ≥ 1 켤레: 7, 3, 2 ≥ 1 ✓ → (D) 7

정답

한 켤레 평균 가격은 24 ÷ 12 = 2 로 가장 싼 1 에 가깝고 4 와는 멉니다. 즉 싼 양말이 가장 많아야 한다는 뜻이라, 1 켤레 수가 셋 중 최대여야 합니다 — 선택지 중 (C) 6, (D) 7, (E) 8 만 그럴듯하고, 그 가운데 (D) 7 이 우리의 계산과 정확히 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 우리 도구함으로 풀 수 있어요 — 6학년 문장제·식 만들기 한 번에 작은 경우 나열만 더하면 답이 나옵니다.

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