AMC 8 · 2015 · #25

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglesspatial-visualizationreflection-symmetry identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

5 × 5 정사각형의 네 모퉁이에서 1 × 1 작은 정사각형을 각각 잘라내면 십자(플러스) 모양 영역이 남습니다. 이 십자 모양 안에 들어가는 가장 큰 정사각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$12+4\sqrt{2}$

(C)

(D)

$9+4\sqrt{5}$

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

AMC 8 마지막 문제처럼 보이지만 도구 #1(그림 그리기) 하나면 한 줄짜리 넓이 문제로 바뀝니다 — 십자 모양과 그 안에 들어가는 가장 큰 기울어진 정사각형을 직접 그려 보면, 그 정사각형의 네 꼭짓점이 잘려나간 자리의 안쪽 모서리에 정확히 닿아야 한다는 게 보입니다 (그래야 잘린 부분을 침범하지 않으면서 가장 바깥쪽까지 뻗을 수 있음). 그림이 정확해지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 그 기울어진 정사각형을 가운데 똑바로 놓인 3 × 3 정사각형 + 네 변에 붙는 합동인 직각삼각형 4 개로 나눌 수 있고, 두 넓이를 더하면 끝 — 대수도, 피타고라스도 필요 없습니다.

1STEP 1

모눈종이에 십자를 그리면, 네 모퉁이 칸을 지운 자리에 한 변 3인 똑바른 정사각형이 남습니다.

가운데 똑바른 정사각형의 한 변 = 5 - 1 - 1 = 3.

2STEP 2

십자 안 가장 큰 기울어진 정사각형을 그리면, 네 꼭짓점이 홈의 모서리(십자 긴 변의 중점)에 닿습니다.

내접 정사각형의 네 꼭짓점: (1,5), (5,4), (4,0), (0,1).

3STEP 3

기울어진 정사각형을 똑바른 3 × 3 정사각형 하나와 밑변 3·높이 1인 합동 직각삼각형 4개로 쪼갭니다.

기울어진 정사각형 넓이 = (가운데 3× 3 정사각형) + 4 × (홈 삼각형).

4STEP 4

가운데 똑바른 정사각형의 넓이는 3 × 3 = 9.

3 × 3 = 9.

5STEP 5

각 직각삼각형은 두 변이 3과 1이라 넓이 $\frac{1}{2}$ ·3·1 = $\frac{3}{2}$ , 네 개를 합치면 6입니다.

4 ×

\frac{1}{2}

· 3 · 1 = 4 ×

\frac{3}{2}

= 6.

6STEP 6

조각을 더하면 9 + 6 = 15, 답은 (C).

가장 큰 내접 정사각형의 넓이 = 9 + 6 = 15 → (C).

정답

원래 5 × 5 정사각형의 넓이는 25 이고, 십자 모양 영역의 넓이는 25 - 4 = 21 로 정확히 답 (E) 와 같습니다. 그 안에 들어가는 가장 큰 정사각형의 넓이는 21 보다는 작아야 하고, 똑바른 가운데 3 × 3 정사각형(=9)보다는 분명히 커야 합니다(기울이면 더 넓힐 수 있으니까). 그 사이의 후보는 12 + 4√(2) ≈ 17.66, 15, 9 + 4√(5) ≈ 17.94 세 개인데, 우리 풀이는 정확히 15 를 줍니다 — 셋 중 가장 작은 값이라는 점도, 기울어진 정사각형이 네 모퉁이의 잘려나간 부분을 "피해 가야" 한다는 사실과 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

그림부터 그리면 답이 보입니다 — 기울어진 정사각형은 3 × 3 정사각형 하나와 작은 직각삼각형 4 개로 쪼개지고, 그 다음은 6학년 "넓이를 부분으로 나눠 구하기" 만 쓰면 됩니다.

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