경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2016 · #8
학년 5 arithmeticpattern답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
50 개 항을 하나씩 더하고 빼면 시간도 오래 걸리고 실수도 나오기 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 긴 식을 (100-98)+(96-94)+…+(4-2) 처럼 묶으면, 거대한 한 문제가 "같은 모양의 작은 문제 여러 개" 로 바뀝니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기)로 모든 묶음이 똑같이 2 라는 사실이 눈에 들어와 원래 식은 2+2+…+2로 단순화됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 안전망으로 들고 갑니다 — 같은 방법을 4-2 나 8-6+4-2 같은 짧은 식에 먼저 시험해서 맞는지 확인하면 50 항짜리에서도 안심하고 쓸 수 있습니다.
두 항씩 짝짓기
이웃한 두 항씩 (100-98)+(96-94)+… 로 묶으면, 각 묶음은 짝수에서 그다음 작은 짝수를 빼는 꼴이에요.
+a-b 형태의 짝을 괄호로 묶는 것은 5학년 "수식에 괄호 쓰기" 표준 — 값은 같고 모양만 훨씬 쉬워집니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems앞의 몇 짝 계산하기
앞쪽 몇 묶음을 계산해 보면 100-98=2, 96-94=2, …, 모든 묶음이 2가 돼요.
모든 묶음이 같은 상수 2로 나오는 것을 알아채는 일은 4학년 "만들어진 패턴 분석" 표준 그대로입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern짝의 개수 세기
2부터 100까지 짝수는 50개, 두 개씩 묶으면 묶음은 25개예요.
2,4,6,…,100은 1,2,3,…,50과 일대일로 짝지어지므로 개수도 50 개 — 4학년 패턴 세기 논리입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern25에 2 곱하기
그래서 합은 2가 25묶음, 곧 25 × 2 = 50 — 정답은 (C)예요.
반복 합을 곱셈으로 바꾸는 것은 3학년 "같은 묶음의 곱" 정의 그대로입니다.
식 100-98+96-94+…+4-2 전체는 2가 스물다섯 개, 즉 25 × 2가 된다.
▸ 왜?
이웃한 항끼리 짝지으면 식은 (100-98)+(96-94)+…+(4-2)가 되고, 각 짝은 모두 2이며 그런 짝이 25개다.
▸ 왜?
각 짝에서 뒤의 수는 앞의 수보다 2 작은 짝수이고, (a-2)+2=a이므로 a에서 a-2를 빼면 반드시 2가 남는다.
▸ 왜?
이 짝들은 2부터 100까지의 모든 짝수를 덮으며, 그 50개의 수가 둘씩 묶여 25개의 똑같은 짝이 된다.
▸ 왜?
각 짝수 2k를 세는 수 k와 맞대면 2,4,…,100이 1,2,…,50과 하나씩 대응하므로 짝수는 50개다.
▸ 왜?
50개의 수를 2개씩 묶으면 25묶음이 되는데, 2가 든 같은 묶음 25개가 바로 50을 채우기 때문이다.
▸ 왜?
빼기는 더하기로 볼 수 있어 식 전체가 하나의 합이고, 합에서 항의 순서를 바꾸거나 묶어도 전체 값은 변하지 않으므로 이웃끼리 짝지어도 값이 같다.
▸ 왜?
같은 수 2를 모두 25번 더하는 것은 바로 25 × 2의 뜻 — 2가 든 같은 묶음 25개다.
50 개의 수를 25 쌍으로 묶으면 모든 쌍이 조용히 2가 되니, 전체 합은 그냥 25 × 2 = 50 이에요.
- 두 항씩 짝짓기
- 앞의 몇 짝 계산하기
- 짝의 개수 세기
- 25에 2 곱하기
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