AMC 8 · 2016 · #8

학년 5 arithmeticpattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

pattern-recognitionsequences-arithmeticmulti-digit-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticsequences-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

+100 부터 시작해 부호가 +,-,+,-,… 로 번갈아 가는 식 100-98+96-94+92-90+…+8-6+4-2 의 값을 구하는 문제입니다. 항은 100 부터 2 까지의 모든 짝수이고, 마지막 항은 -2 입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

100

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

50 개 항을 하나씩 더하고 빼면 시간도 오래 걸리고 실수도 나오기 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 긴 식을 (100-98)+(96-94)+…+(4-2) 처럼 묶으면, 거대한 한 문제가 "같은 모양의 작은 문제 여러 개" 로 바뀝니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기) 로 모든 묶음이 똑같이 2 라는 사실이 눈에 들어와 원래 식은 2+2+…+2 로 단순화됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 안전망으로 들고 갑니다 — 같은 방법을 4-2 나 8-6+4-2 같은 짧은 식에 먼저 시험해서 맞는지 확인하면 50 항짜리에서도 안심하고 쓸 수 있습니다.

1STEP 1

이웃한 두 항씩 (100-98)+(96-94)+… 로 묶으면, 각 묶음은 짝수에서 그다음 작은 짝수를 빼는 꼴이에요.

100-98+96-94+…+4-2 = (100-98) + (96-94) + … + (4-2)

2STEP 2

앞쪽 몇 묶음을 계산해 보면 100-98=2, 96-94=2, …, 모든 묶음이 2가 돼요.

100-98=2, 96-94=2, 92-90=2, …, 4-2=2

3STEP 3

2부터 100까지 짝수는 50개, 두 개씩 묶으면 묶음은 25개예요.

항 수 =

\frac{100}{2}

= 50, 묶음 수 =

\frac{50}{2}

= 25

4STEP 4

그래서 합은 2가 25묶음, 곧 25 × 2 = 50 — 정답은 (C)예요.

2+2+…+2₂5 번 = 25 × 2 = 50 → (C)

정답

어림셈으로도 답의 크기가 맞는지 확인할 수 있습니다. +100 으로 시작하지만 곧바로 -98 이 거의 다 깎아내고, +96 은 -94 가 깎아내는 식으로 양수 항이 매번 2 정도만 남기고 사라집니다. 즉 묶음 하나당 합계가 2 정도 늘어나므로 전체 결과는 수백이 아니라 25 × 2 = 50 근처여야 하며, 이는 정확히 (C) 와 일치합니다. 80 이나 100 같은 선택지는 음수가 양수를 이렇게 강하게 상쇄하는 상황에서 나올 수 없습니다.

💡핵심 정리

50 개의 수를 25 쌍으로 묶으면 모든 쌍이 조용히 2 가 되니, 전체 합은 그냥 25 × 2 = 50 이에요.

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