경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2017 · #22

학년 8 geometry-2dalgebra
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
similar-trianglespythagorean-theoremratio-proportionarea-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremsimilar-trianglesratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
직각삼각형 ABC 에서 C 가 직각이고 두 직각변은 AC = 12, BC = 5 입니다. 반원 하나가 삼각형 내부에 그려져 있는데, 평평한 지름이 변 AC 위에 놓여 있고(한 끝이 C 점), 곡선 부분이 빗변 AB 에 딱 닿아 있습니다. 이 반원의 반지름 r 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{7}{6}$
(B)
$\frac{13}{5}$
(C)
$\frac{59}{18}$
(D)
$\frac{10}{3}$
(E)
$\frac{60}{13}$

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

주어진 asy 그림은 출발점일 뿐이고, 핵심은 도구 #1(그림 그리기)로 보이지 않는 정보를 그림 위에 직접 그려 넣는 것입니다 — AC 위의 중심 O, BC 쪽으로의 반지름 OC = r, 그리고 빗변 AB 에 수직으로 그은 반지름 OT. 이렇게 그림이 완성되면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제가 두 조각이 됩니다 — 먼저 피타고라스 정리로 AB 를 구하고, 큰 직각삼각형 △ ABC 안에 숨어 있는 작은 직각삼각형 △ AOT 를 찾는 것이죠. 두 삼각형은 각 A 를 공유하고 둘 다 직각을 가지므로 닮음입니다. 닮음 비례식이 r 에 대한 일차방정식으로 떨어지고, 마지막은 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 마무리합니다. (검토 단계에서는 도구 #6(추측하고 확인하기)로 선택지 다섯 개 중 비례식을 만족시키는 값을 직접 확인합니다.)

1STEP 1

빗변 AB 구하기

직각변 12와 5 (고전적인 피타고라스 수)에 피타고라스 정리를 쓰면 빗변 AB = 13 입니다.

AB = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √(169) = 13
2STEP 2

중심을 변 위에 놓기

중심 O 를 AC 위에 OC = r 로 놓고 접점을 T 라 하면 OT ⊥ AB, OT = r, AO = 12 - r 입니다.

OC = r, OT = r, OT ⊥ AB, AO = 12 - r
3STEP 3

닮은 삼각형 찾기

△ AOT 와 △ ABC 는 각 A 를 공유하고 둘 다 직각이 있어 AA 닮음이므로 OT/BC = AO/AB 입니다.

△ AOT ∼ △ ABC → OT/BC = AO/AB
4STEP 4

비례식 풀어 r 구하기

r/5 = (12 - r)/13에 대입해 교차곱하면 18r = 60, 따라서 r = 103\frac{10}{3} 입니다.

r/5 = (12 - r)/13 ⟹ 13r = 5(12 - r) ⟹ 13r = 60 - 5r ⟹ 18r = 60 ⟹ r = 60/18 = 10/3
5STEP 5

선택지와 맞춰 보기

r = 103\frac{10}{3} 은 바로 선택지 (D) 입니다.

r = 10/3 → (D)
정답
10/3
반원은 짧은 직각변 BC = 5 안에 들어가야 하므로 반지름은 반드시 5 보다 작아야 합니다. 답 r = 103\frac{10}{3} ≈ 3.33은 5 보다 충분히 작고, 동시에 그림 속 반원이 AC 의 상당 부분을 차지할 만큼 크다는 점과도 잘 맞습니다 — asy 그림에서 호가 대략 x = 5.33부터 x = 12까지 그려져 있으니 반지름이 (12 - 5.33)/2 ≈ 3.33으로 정확히 일치합니다. 면적으로 다시 검산해도 같은 답이 나옵니다: △ ABC 의 면적 30을 △ BCO(면적 5r/2)와 △ ABO(면적 13r/2)로 나누면 18r/2 = 30 → r = 103\frac{10}{3}. 다른 길, 같은 답.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 피타고라스 정리와 닮음 추론만 알면 풀 수 있어요!

  • 빗변 AB 구하기
  • 중심을 변 위에 놓기
  • 닮은 삼각형 찾기
  • 비례식 풀어 r 구하기
  • 선택지와 맞춰 보기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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