AMC 8 · 2018 · #11

학년 7 probabilitycounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumerationspatial-visualization caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticcombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

애비, 브리짓을 포함한 친구 6 명이 가로 3 줄, 세로 2 줄로 놓인 2 × 3 좌석에 무작위로 앉습니다. 애비와 브리짓이 같은 줄(가로)에서 옆자리에 앉거나, 같은 줄(세로)에서 앞뒤로 붙어 앉을 확률은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{2}{5}$

(C)

$\frac{7}{15}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제의 핵심 정보는 "2 × 3 격자에서 인접"이라는 공간 구조이기 때문에, 가장 먼저 도구 #1(그림 그리기)로 좌석 6 개를 그리고 변을 공유하는 쌍을 직접 표시하는 것이 자연스럽습니다. 그림이 생기면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 인접 쌍을 일정한 순서로 훑어 빠짐·중복 없이 셀 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 인접을 "가로(같은 행) 쌍"과 "세로(같은 열) 쌍" 두 묶음으로 나눠 각각 따로 세게 해 줘서 실수를 줄입니다. 마지막에 인접 쌍 수를 전체 쌍 수 C(6, 2) 로 나누면 확률이 나옵니다.

1STEP 1

2 × 3 격자를 그리고 번호를 매깁니다 — 윗줄 1, 2, 3번, 아랫줄 4, 5, 6번.

1 & 2 & 3 ; 4 & 5 & 6

2STEP 2

누가 어디 앉는지가 아니라 어떤 두 자리인지만 따지므로, 6자리에서 순서 없이 고르면 총 15쌍.

C(6, 2) = (6 × 5)/(2 × 1) = 15

3STEP 3

행별로 훑으면 윗줄 {1,2}, {2,3}, 아랫줄 {4,5}, {5,6} — 가로 인접 쌍은 4개.

가로 인접 쌍 = 2 + 2 = 4

4STEP 4

각 열에는 앞뒤 쌍이 하나씩 — {1,4}, {2,5}, {3,6} — 세로 인접 쌍은 3개.

세로 인접 쌍 = 1 + 1 + 1 = 3

5STEP 5

가로와 세로 인접은 겹치지 않으므로 그대로 더합니다 — 4 + 3 = 7개의 인접 쌍.

인접 쌍 총합 = 4 + 3 = 7

6STEP 6

동등한 경우이므로 인접 쌍을 전체로 나눕니다 — $\frac{7}{15}$ → (C).

P(인접) =

\frac{7}{15}

→ (C)

정답

\frac{7}{15}

크기 감각으로 답을 확인합니다. 전체 자리 짝은 15 가지, 답은

\frac{7}{15}

≈ 0.467 로

\frac{1}{2}

보다 살짝 작은데, 2 × 3 처럼 좁은 격자에서는 거의 절반에 가까운 짝이 변을 공유하므로 자연스러운 값입니다. 한 자리 기준으로도 확인해 봅시다 — 네 모서리 자리(예: 1번)는 이웃이 2 개(2, 4번), 가운데 자리(2, 5번)는 이웃이 3 개입니다. 평균 이웃 수는

\frac{4 · 2 + 2 · 3}{6}

\frac{7}{3}

이고, 나머지 5 자리 중에서 이웃 자리에 앉을 확률은

\frac{\frac{7}{3}}{5}

\frac{7}{15}

로 답과 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "유리한 경우 ÷ 전체 경우 = 확률" 정의만 알면 풀 수 있어요!

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