AMC 8 · 2018 · #4

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectanglescoordinate-geometryspatial-visualization area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변이 1 cm 인 모눈종이 위에 꼭짓점이 모두 격자점인 12각형이 그려져 있습니다. 이 다각형이 둘러싼 부분의 넓이를 cm² 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

12.5

(C)

(D)

13.5

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

12각형 그대로는 넓이를 구하기가 까다롭지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 적용하면 (2,2) 부터 (5,5) 까지의 3 × 3 정사각형 한 개와 그 위·아래·왼·오른쪽으로 튀어나온 직각삼각형 네 개로 깔끔하게 나뉩니다. 정사각형은 한 변 × 한 변, 직각삼각형은 $\frac{1}{2}$ × 밑변 × 높이 — 둘 다 초등 기하에서 바로 처리할 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 도구로, 문제의 격자 그림 위에 네 개의 "뾰족한" 삼각형과 가운데 3 × 3 정사각형을 표시하면 분해가 한눈에 들어옵니다.

1STEP 1

12개 꼭짓점을 찍어 외곽선을 따라가면 (2,2)~(5,5) 의 3 × 3 정사각형 과 튀어나온 삼각형 네 개로 나뉩니다.

분해: 12각형 = (3 × 3 정사각형) + (위 삼각형) + (오른쪽 삼각형) + (아래 삼각형) + (왼쪽 삼각형)

2STEP 2

가운데 정사각형은 (2,2)~(5,5) 라 한 변이 5 - 2 = 3 cm, 넓이는 9 cm² 입니다.

정사각형 넓이 = 3 × 3 = 9 cm²

3STEP 3

위쪽 뾰족한 삼각형 (2,5), (3,6), (4,5) 은 밑변 2 cm, 높이 1 cm 라 넓이가 1 cm² 입니다.

삼각형 넓이 =

\frac{1}{2}

× 밑변 × 높이 =

\frac{1}{2}

× 2 × 1 = 1 cm²

4STEP 4

대칭이라 오른쪽·아래·왼쪽 뾰족한 삼각형도 위쪽과 합동이므로 네 삼각형 넓이 합은 4 cm² 입니다.

4 × 1 = 4 cm²

5STEP 5

가운데 정사각형과 네 삼각형을 더하면 9 + 4 로 넓이는 13 cm² 입니다.

전체 넓이 = 9 + 4 = 13 cm² → (C)

정답

이 12각형은 (1,1) 부터 (6,6) 까지의 5 × 5 정사각형 안에 들어가므로 넓이는 25 이하이고, 가운데 3 × 3 = 9 보다는 분명히 큽니다. 바깥쪽 네 개의 작은 삼각형이 눈대중으로 각각 1 cm² 정도라서 9 + 4 = 13 은 그림과 잘 맞고, 선택지 중 그 근처 값은 (C) 뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 삼각형 넓이 공식 (밑변 × 높이 ÷ 2) 을 정사각형 + 삼각형 4개로 쪼개서 쓰면 풀 수 있어요!

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