경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2019 · #15
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AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"둘 다", "또한", "X 와 Y 를 같이" 같은 표현은 벤 다이어그램(도구 #12)을 그리라는 신호입니다. S(선글라스)와 C(모자) 두 원을 겹쳐 그리면 상황이 한눈에 보이고, 핵심은 '겹친 부분(둘 다 쓴 사람)' 이 어느 쪽에서 봐도 똑같은 하나의 수라는 점입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 이 문제의 "비틂" 입니다 — 겹친 14 명은 모자 원에서 보면 14/35 이지만, 선글라스 원에서 보면 14/50입니다. '전체' 로 어느 집단을 보느냐만 바뀔 뿐, 분자(겹친 사람 수)는 그대로입니다.
두 집단 그리기
S(선글라스 50), C(모자 35) 두 원을 겹쳐 그리면, 겹친 부분(둘 다 쓴 사람)이 먼저 채울 미지수입니다.
사람들을 "선글라스만", "모자만", "둘 다" 의 세 묶음으로 분류하고 세는 것은 유치원 때 배운 "분류하고 세기" 그대로입니다.
K.MD.B.3Draw A Venn Diagram겹치는 인원 구하기
모자 쪽 비율로 채웁니다: 35 명의 가 선글라스도 쓰니 겹친 부분은 14 명입니다.
어떤 묶음의 2/5를 구하기 위해 분수에 자연수를 곱하는 것은 4학년 때 배우는 분수 곱셈입니다.
4.NF.B.4Draw A Venn Diagram선글라스 기준으로 바꾸기
시선을 바꾸면, 그 14 명은 선글라스 쓴 50 명 안에도 있으니 새 확률은 입니다.
'전체' 를 모자 집단에서 선글라스 집단으로 바꿔도 겹친 14 명은 그대로라는 것 — 분자는 같고 분모만 35 → 50으로 바뀐다는 비율 추론입니다.
이번에는 선글라스를 착용한 사람을 무작위로 뽑는다면, 그 사람이 모자도 쓰고 있을 확률은 둘 다 착용한 14명을 선글라스를 착용한 50명 중에서 본 값이다.
▸ 왜?
선글라스를 착용한 사람들 중에서 무작위로 뽑으므로, 그 사람이 모자도 쓰고 있을 확률은 그 50명 가운데 둘 다 착용한 수 — 바로 그 14명 — 을 50명에 견준 값일 뿐이다.
▸ 왜?
둘 다 착용한 14명은 하나의 고정된 사람들의 집합이다; 모자 무리 안에서 가리키든 선글라스 무리 안에서 가리키든 각 사람은 자기 자신과 짝지어지므로, 유리한 경우의 수는 어느 쪽이든 같은 14명 그대로다.
▸ 왜?
'무작위로' 뽑는다는 것은 선글라스를 착용한 모든 사람이 뽑힐 가능성이 동등하다는 뜻이므로, 모자도 쓴 사람에게 걸릴 확률은 유리한 경우의 수를 선글라스를 착용한 전체 50명으로 나눈 것이다.
분수 약분하기
최대공약수 2로 약분하면 이 이 되고, 이는 선택지 (B)입니다.
14/50을 7/25로 줄이는 약분은 4학년 "동치 분수" 기능 — 값은 같고 숫자만 작아집니다.
4.NF.A.1Draw A Venn Diagram이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 추론 — "겹친 부분은 그대로 두고 '전체' 만 바꾸기" — 만 알면 풀 수 있어요!
- 두 집단 그리기
- 겹치는 인원 구하기
- 선글라스 기준으로 바꾸기
- 분수 약분하기
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