AMC 8 · 2019 · #15

학년 6 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

probability-basicratio-proportionset-partition identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

해변에 선글라스를 쓴 사람이 50 명, 모자를 쓴 사람이 35 명 있어요. 두 가지를 같이 쓴 사람도 있는데, 모자를 쓴 사람 중에서 한 명을 무작위로 뽑았을 때 선글라스도 함께 쓰고 있을 확률이

\frac{2}{5}

입니다. 이번에는 반대로 선글라스를 쓴 사람 중에서 한 명을 뽑는다면, 그 사람이 모자도 쓰고 있을 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{14}{85}$

(B)

$\frac{7}{25}$

(C)

$\frac{2}{5}$

(D)

$\frac{4}{7}$

(E)

$\frac{7}{10}$

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 벤 다이어그램

"둘 다", "또한", "X 와 Y 를 같이" 같은 표현은 벤 다이어그램(도구 #12) 을 그리라는 신호입니다. S(선글라스)와 C(모자) 두 원을 겹쳐 그리면 상황이 한눈에 보이고, 핵심은 '겹친 부분(둘 다 쓴 사람)' 이 어느 쪽에서 봐도 똑같은 하나의 수라는 점입니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 이 문제의 "비틂" 입니다 — 겹친 14 명은 모자 원에서 보면 $\frac{14}{35}$ 이지만, 선글라스 원에서 보면 $\frac{14}{50}$ 입니다. '전체' 로 어느 집단을 보느냐만 바뀔 뿐, 분자(겹친 사람 수)는 그대로입니다.

1STEP 1

S(선글라스 50), C(모자 35) 두 원을 겹쳐 그리면, 겹친 부분(둘 다 쓴 사람)이 먼저 채울 미지수입니다.

|S| = 50, |C| = 35, |S ∩ C| = ?

2STEP 2

모자 쪽 비율로 채웁니다: 35 명의 $\frac{2}{5}$ 가 선글라스도 쓰니 겹친 부분은 14 명입니다.

|S ∩ C| =

\frac{2}{5}

× 35 =

\frac{2 × 35}{5}

\frac{70}{5}

= 14

3STEP 3

시선을 바꾸면, 그 14 명은 선글라스 쓴 50 명 안에도 있으니 새 확률은 $\frac{14}{50}$ 입니다.

P(모자 ∣ 선글라스) =

\frac{|S ∩ C|}{|S|}

\frac{14}{50}

4STEP 4

최대공약수 2 로 약분하면 $\frac{14}{50}$ 이 $\frac{7}{25}$ 이 되고, 이는 선택지 (B) 입니다.

\frac{14}{50}

\frac{14 ÷ 2}{50 ÷ 2}

\frac{7}{25}

→ (B)

정답

\frac{7}{25}

두 확률은 두 집단 크기의 비율과 관련이 있어야 합니다. 선글라스 집단(50 명) 이 모자 집단(35 명) 보다 크니까, 같은 겹친 부분이 차지하는 비율은 선글라스 쪽이 더 작아야 합니다 — 즉 답은

\frac{2}{5}

보다 작아야 합니다. 확인해 보면

\frac{7}{25}

= 0.28,

\frac{2}{5}

= 0.40 이라 0.28 ＜ 0.40, 예상과 정확히 일치합니다. 교차 확인으로

\frac{2}{5}

× 35 =

\frac{7}{25}

× 50 = 14 이므로 두 분수 모두 똑같은 14 명을 가리키고 있음도 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 추론 — "겹친 부분은 그대로 두고 '전체' 만 바꾸기" — 만 알면 풀 수 있어요!

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