경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2015 · #15

학년 6 arithmeticlogic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

set-partitioncomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

오일러 중학교 학생 198 명이 두 안건에 대해 투표했습니다. 첫 번째 안건에 찬성한 학생은 149 명, 두 번째 안건에 찬성한 학생은 119 명이고, 두 안건 모두에 반대한 학생은 정확히 29 명입니다. 두 안건 모두에 찬성한 학생은 몇 명일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

149

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 벤 다이어그램 그리기

"둘 다", "둘 다 반대" 같은 표현은 도구 #12(벤 다이어그램)의 전형적인 신호입니다. A, B 두 원을 겹쳐 그리고, 둘 다 반대한 29 명은 두 원 바깥에 둡니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로는 풀이를 두 단계로 나눕니다 — 먼저 "적어도 하나에 찬성한 학생 수"(합집합)를 구하고, 그 값을 이용해 겹치는 부분을 찾습니다. 두 부분 문제만 풀면 벤 다이어그램의 나머지 칸은 뺄셈으로 채워지므로 x = a + b - u 보다 무거운 대수는 필요하지 않습니다.

1STEP 1

벤 다이어그램 그리기

198 명을 담은 상자 안에 원 A, B 를 겹쳐 그리고, 둘 다 반대한 29 명은 두 원 바깥에 둡니다.

두 원 바깥 = 29

2STEP 2

합집합 구하기

29 명을 뺀 나머지는 모두 원 안에 있으니 합집합은 198 - 29 = 169 명입니다.

|A ∪ B| = 198 - 29 = 169

3STEP 3

포함배제 식 쓰기

포함-배제 원리에서 |A| + |B| 는 교집합을 두 번 세므로, 합집합보다 |A ∩ B| 만큼 큽니다.

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| ⟹ |A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|

벤 그림을 보면 중복 카운트가 한눈에 보입니다. 렌즈 모양 교집합은 A 안에도 B 안에도 있어서 |A| 에서 한 번, |B| 에서 또 한 번 세집니다.

원 A의 인원과 원 B의 인원을 더한 뒤 적어도 한 원에 든 인원을 빼면 두 원 모두에 든 인원만 정확히 남는다: |A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|.

▸ 왜?

원 A의 인원과 원 B의 인원을 더하면, 두 원 모두에 든 학생은 원 A 안에도 있고 원 B 안에도 있으므로 두 번 세어진다.

▸ 왜?

원 A의 인원은 겹침도 빈틈도 없이 A에만 든 학생과 두 원 모두에 든 학생으로 나뉘고 그 조각들이 다시 전체로 더해지므로, 원 A의 인원은 두 원 모두에 든 학생을 한 번 품고 있다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

원 B의 인원도 같은 방식으로 B에만 든 학생과 두 원 모두에 든 학생으로 나뉘므로, 원 B의 인원도 두 원 모두에 든 학생을 한 번 품고 있다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

적어도 한 원에 든 인원은 A에만, B에만, 두 원 모두라는 세 영역을 겹침도 빈틈도 없이 합친 것이므로, 이 합집합 인원은 두 원 모두에 든 학생을 정확히 한 번 이미 품고 있다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

따라서 두 인원을 더한 값은 합집합 인원에 두 원 모두에 든 학생 한 벌이 더 얹힌 것과 같고, 합집합 인원을 빼면 그 한 벌이 사라져 두 원 모두에 든 학생만 남는다.

▸ 왜?

뺄셈은 덧셈을 되돌리므로, 합집합 인원을 도로 빼면 합 안에 숨어 있던 그 몫이 상쇄되고 남은 두 원 모두에 든 학생만 남는다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

6.EE.B.7Draw A Venn Diagram

4STEP 4

값을 넣어 교집합 구하기

대입하면 |A ∩ B| = 149 + 119 - 169 = 99 명, 정답 (D).

|A ∩ B| = 149 + 119 - 169 = 268 - 169 = 99 → (D)

정답

답 99로 네 영역을 검산해 봅니다 — 둘 다 찬성 = 99, A 만 = 149 - 99 = 50, B 만 = 119 - 99 = 20, 둘 다 반대 = 29. 합 = 99 + 50 + 20 + 29 = 198. 네 조각이 198 명을 정확히 분할하므로 답이 일관됩니다. 또한 |A ∩ B| = 99는 min(|A|, |B|) = 119 이하라서 실제 교집합이 만족해야 할 조건도 통과합니다.

💡핵심 정리

벤 다이어그램만 그리면 이 AMC 8 문제는 6학년 "한 미지수 방정식 풀기" 만으로 끝나요 — 겹치는 부분이 149 + 119 - 169 = 99로 바로 나옵니다.

벤 다이어그램 그리기
합집합 구하기
포함배제 식 쓰기
값을 넣어 교집합 구하기

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벤 다이어그램 그리기

합집합 구하기

포함배제 식 쓰기

값을 넣어 교집합 구하기

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