경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #25

학년 6 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

combinations-basicsystematic-enumerationlinear-diophantine identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: combinations-basiclinear-diophantine

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

앨리스는 사과 24개를 자신과 베키, 크리스 세 사람이 모두 나눠 갖되, 누구나 최소 2개씩은 받도록 나누고 싶어 합니다. 24개를 세 사람에게 나누는 서로 다른 방법은 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

105

(B)

114

(C)

190

(D)

210

(E)

380

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

24를 직접 세 묶음으로 쪼개려면 약 200가지 경우를 손으로 나열해야 해서 너무 많습니다. 그래서 먼저 도구 #16의 발상으로 "각자 2개 이상" 이라는 조건을 제거합니다 — 세 사람에게 2개씩 미리 주고 나면 남은 18개는 아무 조건 없이 나눠 가지면 되는, 더 쉬운 문제가 됩니다. 그 다음 도구 #9로 18 대신 아주 작은 합 (N = 0, 1, 2, 3, …)부터 시작해, 도구 #2로 모든 순서쌍을 빠짐없이 나열하고, 도구 #5로 개수가 어떻게 늘어나는지 패턴 (1, 3, 6, 10, 15, … — 삼각수)을 잡습니다. 이 패턴은 N = 18까지 그대로 일반화됩니다.

1STEP 1

최소 개수 먼저 나눠 주기

세 사람에게 2개씩 먼저 주면 6개가 쓰이고, 남은 18개를 제한 없이 나누면 됩니다.

24 - 2 × 3 = 24 - 6 = 18 개를 제한 없이 분배

2STEP 2

더 쉬운 세기 문제로 바꾸기

더 쉬운 문제: a+b+c=18, 각 항 ≥0 인 순서쌍 세기 — 먼저 작은 합 N=0,1,2,3,4부터 다뤄 봅니다.

작은 경우: N=0 → (0,0,0); N=1 → (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1); N=2 → (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).

3STEP 3

작은 경우 나열하기

각 작은 경우를 정해진 순서로 빠짐없이 나열하면 개수가 1, 3, 6, 10, 15 로 나옵니다.

N=0: 1 가지. N=1: 3 가지. N=2: 6 가지. N=3: 10 가지. N=4: 15 가지.

4STEP 4

삼각수 규칙 찾기

이 개수 1, 3, 6, 10, 15는 삼각수입니다: 합이 N 일 때 가짓수는 $\frac{(N+1)(N+2)}{2}$ 입니다.

가짓수(N) = (N+1) + N + (N-1) + … + 1 = (N+1)(N+2)/2

가짓수를 합 N 에 대한 식 "(N+1)(N+2)/2" 로 적는 것은 6학년 "문자로 식 쓰기·읽기·계산하기" 그대로입니다.

사과 N개를 세 사람에게 각자 0개 이상 받을 수 있게 나눌 때, a + b + c = N을 만족하는 순서 있는 정수 삼중쌍 (a, b, c)의 개수는 (N+1)(N+2)/2이다.

▸ 왜?

모든 삼중쌍을 첫 번째 사람이 받는 사과 수로 분류한다. 그러면 각 무리는 1, 2, 3, …, N+1개의 삼중쌍을 담고, 그 무리별 개수를 더하면 (N+1)(N+2)/2가 된다.

▸ 왜?

각 삼중쌍은 자신의 a 값에 따라 정확히 한 무리에만 속하고, 빠지거나 두 번 세어지는 것 없이 모든 무리를 세므로, 무리별 개수를 더하면 참된 전체가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

첫 번째 사람이 a개를 받는 무리에서 나머지 두 몫은 합이 N - a가 되어야 하고, 그렇게 되는 삼중쌍은 정확히 N - a + 1개다.

▸ 왜?

a와 두 번째 몫 b가 정해지면 세 번째 몫은 c = N - a - b로 강제되므로, 삼중쌍 전체가 b 하나의 선택으로 결정된다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

두 번째 몫 b는 0부터 N - a까지의 어떤 정수든 될 수 있고, 그런 b 하나하나가 서로 다른 삼중쌍 하나를 주므로, 그 무리는 N - a + 1개를 담는다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

1 + 2 + 3 + … + (N+1)을 더할 때 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지어 다시 묶을 수 있다. 각 짝은 합이 N + 2이고 그런 짝이 N + 1의 절반만큼 있어 (N+1)(N+2)/2가 되며, 이렇게 순서를 바꿔 더해도 합은 변하지 않는다.

덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.

6.EE.A.2Look For A Pattern

5STEP 5

작은 경우로 공식 확인하기

작은 값에서 공식 확인: $\frac{1·2}{2}=1$ , $\frac{2·3}{2}=3$ , $\frac{3·4}{2}=6$ , $\frac{5·6}{2}=15$ — 모두 일치합니다.

(1 · 2)/2, (2 · 3)/2, (3 · 4)/2, (4 · 5)/2, (5 · 6)/2 = 1, 3, 6, 10, 15 ✓

6STEP 6

18에 공식 적용하기

공식에 N = 18 대입: $\frac{19×20}{2}$ = 190, 즉 (C) — 이것이 원래 문제의 답입니다.

가짓수(18) = (18+1)(18+2)/2 = (19 × 20)/2 = 380/2 = 190 → (C)

정답

190

답 190은 흔한 실수들을 노린 오답 선택지들 사이에 자리합니다 — 210 = C(21, 2)은 칸막이 개수에서 사람 한 명을 빼지 않은 실수의 결과, 380 = 19 × 20은 2로 나누는 단계를 빼먹었을 때 나오는 값입니다. 삼각수

\frac{19 · 20}{2}

= 190이 정확히 380의 절반이라는 점도 "(a, b) 짝짓기에서 2로 나누는 단계" 가 옳게 들어갔다는 좋은 검산이 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 식과 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 작은 경우를 나열해서 삼각수 패턴을 찾고, 식에 18을 넣으면 끝!

최소 개수 먼저 나눠 주기
더 쉬운 세기 문제로 바꾸기
작은 경우 나열하기
삼각수 규칙 찾기
작은 경우로 공식 확인하기
18에 공식 적용하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

최소 개수 먼저 나눠 주기

더 쉬운 세기 문제로 바꾸기

작은 경우 나열하기

삼각수 규칙 찾기

작은 경우로 공식 확인하기

18에 공식 적용하기

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