AMC 10 · 2012 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

interval-arithmeticabsolute-value physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

벌레 한 마리가 수직선 위를 $-2$ 에서 출발하여 기어간다. 이 벌레는 $-6$ 까지 기어간 다음, 방향을 바꿔 $5$ 까지 기어간다. 이 벌레가 기어간 총 거리는 몇 단위인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수직선 위의 벌레가 $-2$ 에서 출발해 $-6$ 까지 기어간 다음, 방향을 바꿔 $5$ 까지 기어갑니다. 벌레가 이동한 전체 거리(출발점에서 얼마나 떨어져 끝났는지가 아니라, 실제로 기어간 길의 총 길이)를 단위로 구하세요.

주어진 것: 벌레는 위치 $-2$ 에서 출발한다.; 왼쪽으로 $-6$ 까지 기어간다.; 그다음 방향을 바꿔 오른쪽으로 $5$ 까지 기어간다.; 보기: (A) $9$, (B) $11$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$.

구하는 것: 두 구간을 모두 더한 전체 이동 거리.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기

벌레는 수직선 위의 위치를 따라 움직이므로, 가장 자연스러운 첫 수는 도구 #1입니다. 수직선을 그리고 $-2$, $-6$, $5$ 를 표시하면, 이동이 서로 반대 방향인 두 개의 직선 구간으로 이루어졌다는 것이 한눈에 보입니다. 이어서 도구 #7 로 전체 이동을 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다 — $-2$ 에서 $-6$ 까지의 첫 구간, $-6$ 에서 $5$ 까지의 둘째 구간, 각각은 쉬운 거리 계산이에요. 도구 #8 은 "거리의 단위" 에 초점을 맞춰, 거리는 언제나 두 점 사이의 양수인 간격(절대 음수가 아님)이라는 점을 상기시켜 줍니다. 그래서 두 구간은 그냥 더하면 됩니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.NS.C.6 단계 1

수직선을 그린다

수직선을 그리고 세 핵심 위치를 표시합니다: 출발점 $-2$, 방향을 바꾸는 점 $-6$, 끝점 $5$.
벌레는 먼저 왼쪽 $-6$ 으로 갔다가, 방향을 바꿔 오른쪽 끝 $5$ 까지 갑니다.

$$-6 \;\longleftarrow\; -2 \qquad\text{그다음}\qquad -6 \;\longrightarrow\; 5$$

💡 점들을 수직선 위에 찍어 보면 서로 다른 두 번의 이동이 한눈에 드러납니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 2

첫 구간의 길이

첫 구간, 즉 $-2$ 에서 $-6$ 까지의 길이를 구합니다.
거리는 두 점 사이의 간격이고, 이는 두 수의 차의 절댓값 — 언제나 양의 단위 수 — 입니다.

$$|-6 - (-2)| = |-4| = 4$$

💡 $-2$ 에서 $-6$ 까지 눈금 $4$ 칸을 건너므로, 이 구간은 $4$ 단위입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 3

둘째 구간의 길이

둘째 구간, 즉 $-6$ 에서 $5$ 까지의 길이를 구합니다.
마찬가지로 차의 절댓값을 취해 양의 거리를 얻습니다.

$$|5 - (-6)| = |11| = 11$$

💡 $-6$ 에서 $0$ 까지 $6$ 단위, 다시 $0$ 에서 $5$ 까지 $5$ 단위, 합쳐서 $11$ 단위입니다.

#8 단위 살펴보기 2.OA.A.1 단계 4

두 구간을 더한다

전체 이동 거리는 두 구간 길이의 합입니다.
더해서 단위로 답을 구합니다.

$$4 + 11 = 15 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 전체 거리는 첫 구간 더하기 둘째 구간일 뿐이므로, 벌레는 모두 $15$ 단위를 기어갑니다.

[1] #1 6.NS.C.6 수직선을 그리고 세 핵심 위치를 표시합니다: 출발점 $-2$, 방향을 바꾸는 점 $-6$, 끝점 $5$. 벌레는 먼저 왼쪽 $-6$ 으로 갔다가

[2] #7 6.NS.C.7 첫 구간, 즉 $-2$ 에서 $-6$ 까지의 길이를 구합니다. 거리는 두 점 사이의 간격이고, 이는 두 수의 차의 절댓값 — 언제나 양의 단위

[3] #7 6.NS.C.7 둘째 구간, 즉 $-6$ 에서 $5$ 까지의 길이를 구합니다. 마찬가지로 차의 절댓값을 취해 양의 거리를 얻습니다.

[4] #8 2.OA.A.1 전체 이동 거리는 두 구간 길이의 합입니다. 더해서 단위로 답을 구합니다.

검토

합리성 확인: 전체 거리는 더 긴 한 구간인 $11$ 단위보다 반드시 커야 합니다. 벌레가 그 앞에서 $4$ 단위를 되돌아 기어갔기 때문이죠 — 그리고 $15 > 11$ 이므로 맞아떨어집니다. 보기 $11$ 은 긴 구간만 세고 첫 이동을 잊은 사람을 노린 함정입니다. 전체 이동은 $-6$ 에서 $5$ 까지의 폭 $11$ 에, 벌레가 먼저 왼쪽으로 간 $4$ 단위를 더한 $15$ 단위이므로 $\textbf{(E)}$ 가 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 눈금을 셀 수도 있어요: 그린 수직선에서 눈금을 하나씩 세면 $-2$ 에서 $-6$ 까지 $4$ 칸, $-6$ 에서 $5$ 까지 $11$ 칸, 읽어내면 $4 + 11 = 15$. 절댓값 공식 없이도 그림에서 곧바로 같은 답에 이릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 한 점으로 이해하기 ($-2$, $-6$, $5$ 를 수직선 위의 점으로 찍어 두 번의 이동을 보고 측정할 수 있게 하는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 대소 관계와 절댓값 이해하기 (각 구간의 길이를 양 끝점 차의 절댓값으로 계산하는 데 사용: $|-6-(-2)|=4$, $|5-(-6)|=11$.)
2.OA.A.1 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 이용한 한 단계·두 단계 문장제 해결하기 (두 구간 길이 $4 + 11 = 15$ 를 더해 전체 이동 거리를 구하는 데 사용.)

⭐ 거리는 언제나 두 점 사이의 양의 간격이에요. 그래서 도중에 방향을 바꾸면 각 구간을 따로 더합니다: $4 + 11 = 15$ 단위.