경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #6

학년 7 geometry-2dprobability

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

line-symmetryprobability-basicsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: line-symmetryprobability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

한 정사각형 안에 81 개의 격자점이 같은 간격으로 9 × 9 모양으로 놓여 있습니다(변 위의 점들도 포함). 점 P 는 정사각형의 정중앙에 있고, 점 Q 는 나머지 80 개의 점 중에서 무작위로 하나 고릅니다. 이때 직선 PQ 가 이 정사각형의 대칭축이 될 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{5}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{2}{5}$

(D)

$\frac{9}{20}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제에 이미 9 × 9 격자와 중앙의 P 가 그려져 있으니, 그 위에 정사각형의 네 대칭축을 직접 덧그리는 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. 대칭축을 그려 놓으면 유리한 Q 후보가 곧 그 축 위에 놓인 격자점들로 한눈에 보이게 됩니다. 이후 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 유리한 점의 수를 "가로축 위 / 세로축 위 / 대각선 두 개 위" 의 네 조각으로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 축 위의 격자점을 빠뜨리지 않고 세어 P 가 중복으로 세이지 않도록 정리합니다. 마지막으로 확률은 (유리한 점의 수) ÷ 80으로 계산합니다.

1STEP 1

대칭축 네 개 그리기

정사각형에는 네 개의 대칭축이 있고 모두 P 를 지나므로, PQ 가 대칭축이 되는 것은 Q 가 그 축 위에 있을 때뿐입니다.

P 를 지나는 대칭축: 가로, 세로, 대각선_↗, 대각선_↖

2STEP 2

축별로 나누어 세기

유리한 점을 축마다 따로 셉니다. 네 축은 P 에서만 만나고 그 P 는 제외되므로, 네 조각은 겹치지 않아 그냥 더합니다.

유리한 점 = (가로) + (세로) + (대각선_↗) + (대각선_↖)

3STEP 3

각 축 위의 점 세기

각 축은 격자점 9 개를 지나므로 P 를 빼면 8 개씩, 겹치지 않는 네 축이니 유리한 점은 32 개입니다.

8 + 8 + 8 + 8 = 32 개의 유리한 점

4STEP 4

나누어 확률 구하기

유리한 점을 균등한 80 개로 나누면 $\frac{32}{80}$ , 16으로 약분하면 $\frac{2}{5}$ — 선택지 (C).

P(대칭축) = 32/80 = (32 ÷ 16)/(80 ÷ 16) = 2/5 → (C)

정답

2/5

32 라는 숫자를 격자 위에서 다른 방법으로 검산해 봅니다. 네 대칭축 각각이 격자점을 9 개씩 지나가니 단순히 더하면 4 × 9 = 36 개인데, P 가 네 축에서 모두 한 번씩 세이므로 4 번 중복되어 있습니다. P 를 완전히 빼고 싶으니 36 - 4 = 32, 처음 답과 일치합니다. 확률

\frac{2}{5}

= 0.4 라는 값도 직관과 잘 맞습니다 — 격자 전체에 거의 균등하게 흩어져 있는 80 개의 점 가운데 "네 개의 특별한 방향" 위에 놓이는 비율이라면

\frac{1}{2}

보다는 확실히 작고

\frac{1}{5}

보다는 큰 정도가 자연스럽고, 정확히 (C)가 그 위치입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "유리한 경우 ÷ 전체 경우 = 확률" 만 알면 풀 수 있어요!

대칭축 네 개 그리기
축별로 나누어 세기
각 축 위의 점 세기
나누어 확률 구하기

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대칭축 네 개 그리기

축별로 나누어 세기

각 축 위의 점 세기

나누어 확률 구하기

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