AMC 8 · 2020 · #16

학년 6 algebralogic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

linear-equations-one-varsystematic-enumeration convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

여섯 개의 점 A, B, C, D, E, F 가 각각 1 부터 6 까지의 서로 다른 숫자를 하나씩 나타냅니다. 그림에는 직선이 다섯 개 있고, 각 직선이 지나는 점들의 숫자를 모두 더해서 다섯 개의 합을 만듭니다. 이 다섯 개 합의 총합이 47 일 때, B 가 나타내는 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

6! = 720 가지 배정을 일일이 시험해 보는 건 비효율적입니다. 핵심 아이디어는 총합 47 을 "직선별" 이 아니라 "글자별" 로 다시 정리하는 것 — 즉 각 글자가 다섯 직선 중 몇 번 등장하는지 세는 것입니다 (도구 #15). 이렇게 재정리해 보면 B 만 빼고 모든 글자가 정확히 두 번씩 등장하는 거의 대칭적인 모양이 드러납니다. 다섯 직선을 빠짐없이 나열하는 작업(도구 #2)으로 등장 횟수를 한눈에 보고, 마지막에 짧은 대수 한 줄(도구 #13)로 대칭인 부분에서 B 만 분리하면 됩니다.

1STEP 1

다섯 직선의 합 A+B+C, A+E+F, C+D+E, B+D, B+F 를 나열하면 총합이 47 입니다.

(A+B+C) + (A+E+F) + (C+D+E) + (B+D) + (B+F) = 47

2STEP 2

글자별로 다시 세면 각 글자는 두 번씩이지만 B 만 세 번 나와서 2A+3B+2C+2D+2E+2F=47 입니다.

2A + 3B + 2C + 2D + 2E + 2F = 47

3STEP 3

3B 를 2B+B 로 쪼개 모든 글자의 계수를 2 로 맞추면 2(A+B+C+D+E+F)+B=47 로 묶입니다.

2A + 2B + B + 2C + 2D + 2E + 2F = 2(A+B+C+D+E+F) + B = 47

4STEP 4

A, B, C, D, E, F 는 1 부터 6 을 순서만 바꾼 것이므로 A+B+C+D+E+F = 1+2+3+4+5+6 = 21 입니다.

A+B+C+D+E+F = 1+2+3+4+5+6 = 21

5STEP 5

21 을 대입하면 2(21)+B=47, 즉 42+B=47 이므로 B=5 입니다.

2(21) + B = 47 → 42 + B = 47 → B = 47 - 42 = 5 → (E)

정답

B = 5 는 1~6 중 하나이므로 조건에 맞고, 선택지에도 있습니다. B = 5 를 식에 대입하면 2 · 21 + 5 = 42 + 5 = 47 로 주어진 총합과 정확히 일치합니다. 왜 이 풀이가 통하는지도 직관적으로 보입니다 — B 를 제외한 모든 글자가 두 번씩 등장하므로 총합은 "짝수 부분 2 × 21 = 42" 에 "B 한 개" 가 더해진 값이 되고, 42 를 47 로 만들어 주는 B 의 값이 바로 5 입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "식 묶어 다시 쓰기" 와 "각 글자가 몇 번 나오는지 세기" 만 알면 풀 수 있어요!

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