경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2020 · #25

학년 8 geometry-2dalgebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
area-rectanglessystems-of-equationslinear-equations-two-varspatial-visualization convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: systems-of-equationsspatial-visualization
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
가로 3322, 세로 2020 인 큰 직사각형이 세 개의 정사각형 S₁, S₂, S₃ (한 변의 길이 s₁, s₂, s₃)과 두 개의 직사각형 R₁, R₂ 로 빈틈 없이 채워져 있습니다. 그림에서 S₁은 왼쪽 위, 그 아래에 R₁이 있고, S₂는 가운데, S₃은 오른쪽 아래, 그 위에 R₂가 놓여 있습니다. 가운데 정사각형 S₂의 한 변 s₂를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
651
(B)
655
(C)
656
(D)
662
(E)
666

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

그림이 주어져 있지만, 도구 #1(그림 그리기)의 정신대로 "내 손으로 다시 그리며" 모든 변에 s₁, s₂, s₃ 라벨을 붙이는 게 핵심입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로는 그림을 가로 방향(전체 가로 = 정사각형 세 개의 변의 합)과 세로 방향(왼쪽·오른쪽 기둥의 높이)의 두 독립 식으로 분리합니다. 이렇게 만든 두 식을 도구 #13(대수로 바꾸기)로 다루면, 두 식을 빼는 한 번의 동작만으로 s₁과 s₃가 동시에 사라지고 s₂만 남으므로 — 세 변을 모두 구할 필요가 없습니다.

1STEP 1

다시 그리고 이름 붙이기

그림을 다시 그려 라벨을 답니다 — 세 정사각형의 폭이 좌에서 우로 윗변 전체를 나란히 덮습니다.

윗변 = s₁ + s₂ + s₃
2STEP 2

가로 식 세우기

라벨 붙인 윗변은 주어진 가로 3322 와 같으니, 이것이 첫 번째 식입니다.

s₁ + s₂ + s₃ = 3322 (식 1)
3STEP 3

세로 식 세우기

양옆 기둥은 각각 높이 2020 이므로, 가운데 빈 구간을 읽으면 s₁ - s₂ + s₃ = 2020 — 두 번째 식.

s₂ = (2020 - s₁) - s₃ ⇔ s₁ - s₂ + s₃ = 2020 (식 2)
4STEP 4

빼서 두 변 소거하기

식 1 에서 식 2를 빼면 s₁과 s₃는 소거되고 s₂는 두 배 — 2 s₂ = 1302.

(s₁ + s₂ + s₃) - (s₁ - s₂ + s₃) = 3322 - 2020 → 2 s₂ = 1302
5STEP 5

가운데 정사각형 구하기

2로 나누면 s₂ = 651, 답지 (A).

s₂ = 1302/2 = 651 → (A)
정답
651
정답은 0과 min(3322, 2020) = 2020 사이에 있어야 하는데 651은 그 안에 잘 들어옵니다. 검산: s₁ + s₂ + s₃ = 3322와 s₁ + s₃ - s₂ = 2020을 더하면 2(s₁ + s₃) = 5342, 즉 s₁ + s₃ = 2671. 따라서 s₂ = 3322 - 2671 = 651 — 일치합니다. 또 그림상 s₁, s₃ ＞ s₂ (가운데 정사각형이 가장 작음) 인데, s₁ + s₃ = 2671을 각각 651 보다 큰 두 값으로 나누는 분할(예: s₁ ≈ 1369, s₃ ≈ 1302)은 충분히 가능합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 마지막 문제는 사실 8학년 때 배운 "두 일차방정식 빼서 변수 소거하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 직사각형의 가로·세로를 식 두 개로 적고 빼기만 하면 s₂가 툭 떨어집니다!

  • 다시 그리고 이름 붙이기
  • 가로 식 세우기
  • 세로 식 세우기
  • 빼서 두 변 소거하기
  • 가운데 정사각형 구하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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