경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2022 · #16
학년 4 arithmeticalgebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
a, b, c, d 각각을 구하려 들면 미지수 4 개에 식은 3 개라 답이 하나로 정해지지 않습니다. 그러나 문제가 묻는 것은 개별 값이 아니라 a+d 하나뿐 — 여기서 도구 #16(관점 바꾸기)이 결정적입니다. 네 수의 전체 합 a+b+c+d 안에서 보면, 우리가 원하는 a+d 는 가운데 쌍 b+c 의 "여집합" 입니다. 전체와 가운데를 알면 바깥쪽은 자동으로 정해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세 단계로 일을 나눠 줍니다 — (1) 평균 × 2로 각 쌍의 합을 구하고, (2) 양 끝 쌍의 합을 더해 전체 합을 만들고, (3) 가운데 쌍의 합을 빼서 a+d 를 얻고 마지막에 2로 나누면 끝. 대수(x, y 연립방정식)는 전혀 필요하지 않습니다.
평균을 합으로 바꾸기
각 평균은 쌍의 합을 반으로 나눈 값이니, 2를 곱하면 그 쌍의 합이 됩니다.
"두 수의 평균이 21" 을 "두 수의 합이 42" 로 바꿔 읽는 것은 3학년 곱셈 문장제 그대로입니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems네 수의 합 구하기
양 끝 쌍의 합을 더하면 네 수가 한 번씩 들어가 전체 합 a+b+c+d = 102 가 됩니다.
겹치지 않는 작은 합들을 더해 전체 합을 만드는 것은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 "부분 답을 합쳐서 큰 답을 만든다" 그 자체입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems가운데 두 수 빼기
양 끝 a+d 는 가운데의 여집합 — 전체에서 b+c = 52를 빼면 a+d = 50 입니다.
전체와 한 부분을 알면 나머지 부분은 "전체 - 부분" — 도구 #16(관점 바꾸기)의 여집합 트릭이 4학년 뺄셈 옷을 입고 나타난 모습입니다.
첫 번째 수와 마지막 수의 합은 50이어야 한다. 네 수 전체의 합 안에서, 가운데 두 수(합 52)를 덜어내고 남는 것이 바로 바깥쪽 두 수이기 때문이다.
▸ 왜?
네 수 전체의 합은 102이다: 첫 두 수의 합 42에 마지막 두 수의 합 60을 더하면 네 수가 각각 한 번씩만 세어지고, 빠지거나 두 번 세어지는 수가 없다.
▸ 왜?
이 네 수 전체의 합은 다른 방식으로도 나뉜다 — 가운데 두 수와 바깥쪽 두 수로 — 그래서 바깥쪽 두 수는 전체에서 가운데 두 수를 뺀 것이다.
▸ 왜?
가운데 두 수 b+c와 바깥쪽 두 수 a+d는 네 수를 빈틈도 겹침도 없이 모두 덮으므로, 둘을 합하면 전체 102가 된다.
▸ 왜?
두 부분이 전체를 이룰 때, 전체에서 한 부분을 덜어내면 다른 부분이 남는다 — 뺄셈은 전체를 만든 덧셈을 거꾸로 되돌린다.
반으로 나눠 평균 구하기
쌍의 합 a+d 를 2로 나누면 다시 첫 번째와 마지막 수의 평균이 됩니다.
1단계와 같은 정의를 거꾸로 — "두 수의 합이 50이면 평균은 25" — 3학년 나눗셈 그대로입니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 단계 사칙연산 — 양 끝 쌍의 합을 더하고 가운데 쌍의 합을 빼기 — 만 알면 풀 수 있어요!
- 평균을 합으로 바꾸기
- 네 수의 합 구하기
- 가운데 두 수 빼기
- 반으로 나눠 평균 구하기
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