경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2022 · #20
학년 8 arithmeticalgebra
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AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
맨 윗줄이 완전히 채워져 있어서 마법의 합 -2 + 9 + 5 = 12가 바로 읽힙니다. 그 뒤로 비어 있는 칸은 모두 "한 행 또는 한 열에 단 하나의 미지수" 꼴이라, 빈 칸들을 a, b, c 로 이름 붙이고 "행 합 = 12" / "열 합 = 12" 를 쓰면 작은 연립 일차방정식이 됩니다 — 도구 #13(대수로 바꾸기)이 가장 깔끔합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 어느 칸이 어느 칸인지 헷갈리지 않도록 표시해 둔 3 × 3 격자 그 자체입니다. a, b, c 를 x 의 식으로 표현한 다음에는 "x 가 나머지보다 크다" 라는 조건이 세 개의 부등식이 되고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지 {-1, 5, 6, 8, 9} 중 x ＞ 7을 만족하는 가장 작은 값 (D)를 찾을 수 있습니다.
공통 합 구하기
완전히 채워진 맨 윗줄을 더해 모든 행·열이 맞춰야 할 공통 합 12 를 얻습니다.
-2 같은 음의 정수를 양수와 더해 부호 있는 합을 구하는 것은 6학년 "양수와 음수가 양을 나타낸다" 표준 그대로입니다.
6.NS.C.5Draw A Diagram빈칸에 이름 붙이기
빈 세 칸에 이름을 붙입니다 — a = 중앙 왼쪽, b = 정중앙, c = 아래 가운데, 왼쪽 아래는 x.
모르는 칸에 문자를 붙이는 것은 6학년 "문자로 수를 나타내고 식을 쓴다" 표준 그대로입니다.
6.EE.B.6Convert To Algebra줄마다 식 세우기
각 행·열 합을 12로 놓으면 a + b = 13, x + c = 4, a + x = 14, b + c = 3이 됩니다.
각 행·열 제약을 한 줄 방정식으로 옮기는 것은 6학년 방정식 세우기입니다.
6.EE.B.7Convert To Algebrax로 나타내어 풀기
x 로 정리하면 a = 14 - x, b = x - 1, c = 4 - x 이고 열 2로 검증됩니다.
네 개의 연결된 일차방정식을 풀어 a, b, c 를 x 의 식으로 나타내는 것은 8학년 "일차방정식의 연립 풀이" 아이디어를 작은 시스템에 적용한 것입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra가장 큰 수 조건을 부등식으로 바꾸기
x 가 a, b, c 보다 크다는 조건은 x ＞ 14 - x 등이 되고, 가장 강한 것은 x ＞ 7 입니다.
x ＞ 14 - x 같은 부등식을 세우고 푸는 것은 7학년 "문제 해결을 위해 방정식과 부등식을 세운다" 표준 그대로입니다.
모서리 수 x는 7보다 커야 한다.
▸ 왜?
세 개의 "x가 다른 빈칸 수보다 크다" 조건 중 가장 빡빡한 것은 x가 중간-왼쪽 칸을 이기는 것인데, 그 칸은 14 - x와 같으므로 전체 조건은 x ＞ 14 - x로 줄어든다.
▸ 왜?
중간-왼쪽 칸이 14 - x인 이유는 1열의 세 칸이 -2, 중간-왼쪽 칸, x이고 이들이 공통 합 12가 되어야 하므로 -2 + (중간-왼쪽) + x = 12이기 때문이다.
▸ 왜?
1열의 세 칸은 그 열의 하나의 총합을 이루므로, 각 값은 그 총합이 되도록 서로 묶여 있다.
▸ 왜?
공통 총합이 12인 이유는 완전히 채워진 맨 윗줄 -2, 9, 5가 그 자체의 총합 12를 이루고, 모든 행과 열이 그 하나의 총합을 공유해야 하기 때문이다.
▸ 왜?
맨 윗줄의 세 칸은 그 줄의 총합을 이루며, -2 + 9 + 5 = 12이다.
▸ 왜?
-2 + (중간-왼쪽) + x = 12를 중간-왼쪽 = 12 + 2 - x = 14 - x로 정리할 수 있는 이유는 뺄셈이 총합을 만든 덧셈을 되돌리기 때문이다.
▸ 왜?
조건 x ＞ 14 - x는 x ＞ 7과 같다: 양변에 x를 더하면 2x ＞ 14가 되고, 양변을 반으로 나누면 x ＞ 7이 된다.
▸ 왜?
2x를 다시 x로 반 나누는 것이 되는 이유는 나눗셈이 곱셈을 되돌리기 때문이며, 그래서 2x ＞ 14가 x ＞ 7로 바뀐다.
조건에 맞는 가장 작은 x 고르기
7 보다 큰 가장 작은 정수는 x = 8 — a = 6, b = 7, c = -4로 셋 다 이기므로 (D).
x ＞ 7을 어기는 선택지를 지우고 가장 작은 생존자를 시험하는 것은 부등식의 최소 정수해를 객관식 방식으로 찾는 과정입니다.
7.EE.B.4Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "작은 연립 일차방정식 풀이" 만 알면 풀 수 있어요 — 마법의 합 12만 잡으면 빈 칸 네 개가 모두 x 의 식으로 떨어지고, 부등식 x ＞ 7 에서 x = 8이 바로 나옵니다.
- 공통 합 구하기
- 빈칸에 이름 붙이기
- 줄마다 식 세우기
- x로 나타내어 풀기
- 가장 큰 수 조건을 부등식으로 바꾸기
- 조건에 맞는 가장 작은 x 고르기
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