경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2022 · #23

학년 7 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

combinations-basicsystematic-enumerationspatial-visualization caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

3 × 3 격자의 9 칸 각각에 삼각형(△) 또는 동그라미(bigcirc) 중 하나를 놓습니다. "줄"이란 3 개의 행, 3 개의 열, 그리고 2 개의 주대각선 — 모두 8 줄입니다. 2⁹ = 512 가지 채우는 방법 중, △ 세 개로 이루어진 줄과 bigcirc 세 개로 이루어진 줄을 동시에 갖는 경우의 수를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"몇 가지 배치인가?" 라는 큰 질문은 한 번에 풀기 어렵지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 먼저 기하학적 작은 질문을 던지면 길이 열립니다 — "어떤 두 줄이 동시에 단색이 될 수 있는가?" 두 줄이 칸을 공유할 수 없으므로, 3 × 3 격자에서 서로소(겹치지 않는)인 줄 쌍은 "서로 다른 두 행" 또는 "서로 다른 두 열" 뿐입니다. 대각선은 단번에 제외됩니다. 이렇게 문제가 훨씬 작아지면, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 "열 경우"만 세고 대칭으로 2 배 하면 끝납니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 "단색 열이 몇 개인가" 를 기준으로 경우를 나누는 데 사용해 누락·중복을 막아줍니다.

1STEP 1

가능한 줄 짝 찾기

△ 줄과 bigcirc 줄은 칸을 공유할 수 없어, 서로소인 경우는 서로 다른 두 행 또는 두 열뿐 — 대각선은 항상 겹쳐요.

서로소 줄 쌍 ∈ {행, 행} ∪ {열, 열}

2STEP 2

행과 열 대칭 이용하기

행·열 대칭이라 행 경우 수 = 열 경우 수이고 두 경우는 겹치지 않으니, 열 경우만 세고 2배하면 돼요.

전체 = 2 × (△ 단색 열과 ○ 단색 열을 동시에 갖는 배치 수)

3STEP 3

단색 열 두 개인 경우 세기

경우 1 — △ 단색 열·bigcirc 단색 열 하나씩: 자리 잡는 3 × 2에 섞인 마지막 열 6가지를 곱해 36.

3 × 2 × (2³ - 2) = 3 × 2 × 6 = 36

각 열의 독립적인 선택지를 곱하는 것은 7학년 "조직화된 목록으로 복합 사건 세기" 의 곱셈 원리입니다.

정확히 한 열이 모두 △이고 다른 정확히 한 열이 모두 ○인 경우, 유효한 격자의 수는 36이다.

▸ 왜?

두 개의 단색 열을 고르는 일과 남은 한 열을 채우는 일은 서로 독립적으로 이루어지므로, 전체 수는 단색 열을 고르는 방법의 수와 남은 열을 채우는 방법의 수의 곱이다.

▸ 왜?

단색 열을 고르는 각 방법마다 남은 열을 채우는 목록은 완전히 똑같으므로, 결과는 그만큼의 같은 크기 묶음을 이루고 전체 수는 묶음 수 곱하기 묶음 크기가 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

단색 열을 고르는 방법은 6가지이다: 어느 열을 모두 △로 할지 3가지, 그리고 그 각각에 대해 모두 ○가 될 열이 2개 남으므로 3 × 2 = 6이다.

▸ 왜?

세 가지 선택 각각에 똑같은 두 가지 선택이 뒤따르면 크기 2인 같은 묶음 세 개가 되어 합이 3 × 2이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

남은 열을 섞이게 채우는 방법은 6가지이다: 그 열의 세 칸이 2 × 2 × 2 = 8가지 채움을 주고, 한 가지 모양으로만 된 2가지를 빼면 6이 남는다.

▸ 왜?

세 칸 각각이 채움의 수를 두 배로 만든다. 지금까지의 각 채움이 다음 칸에 들어갈 두 모양에 따라 똑같은 한 쌍으로 갈라지기 때문에, 채움은 같은 크기 묶음으로 쌓여 2 × 2 × 2 = 8이 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

8가지 채움은 겹침 없이 한 가지 모양으로만 된 2가지와 나머지 섞인 것들로 나뉘므로, 섞인 것의 수는 전체 8에서 그 2부분을 뺀 것이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

7.SP.C.8Make A Systematic List

4STEP 4

단색 열 세 개인 경우 세기

경우 2 — 세 열 모두 단색에 두 모양 다 등장: 3 + 3 = 6. 경우 1을 더하면 열 경우 합계는 42.

3 + 3 = 6; 36 + 6 = 42 (열 경우)

5STEP 5

행 경우까지 두 배 하기

대칭으로 행 경우도 42, 열 경우와 서로소라 그냥 더하면 42 + 42 = 84 — 선택지 (D).

42 + 42 = 84 → (D)

정답

답의 크기 감을 잡아 봅니다. 3 × 3 격자의 전체 채우기 수는 2⁹ = 512. 단색 △ 줄이 있는 격자 수와 단색 bigcirc 줄이 있는 격자 수는 거의 같고, 둘이 동시에 일어나는 경우는 그중 일부입니다. 84 가지(512의 약 16%)는 합리적인 범위 — 분명히 96 보다 작고 39 보다는 훨씬 큽니다. 내부 검산: 열 경우 합 36 + 6 = 42는 선택지 (B), 행 경우 42를 더한 84가 (D). 문제 출제자는 "대칭 곱하기를 잊으면 42", "대각선 배제를 빠뜨리면 78" 처럼 흔한 실수가 오답 선택지에 떨어지도록 일부러 배치했습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "경우의 수 곱하고 더하기" 만 알면 풀 수 있어요!

가능한 줄 짝 찾기
행과 열 대칭 이용하기
단색 열 두 개인 경우 세기
단색 열 세 개인 경우 세기
행 경우까지 두 배 하기

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가능한 줄 짝 찾기

행과 열 대칭 이용하기

단색 열 두 개인 경우 세기

단색 열 세 개인 경우 세기

행 경우까지 두 배 하기

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