경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2022 · #4

학년 8 geometry-2d
유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure
reflection-symmetryspatial-visualizationcoordinate-geometry physical-representationreflection-unfolding ↑ 선수 지식: reflection-symmetryline-symmetry
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
좌표평면 제1사분면에 똑바로 선 글자 M이 놓여 있습니다. 직선 p 는 가로축, 직선 q 는 대각선 y = x 입니다. 글자 M 을 먼저 직선 q 에 대칭시키고, 그 결과를 다시 직선 p 에 대칭시키세요. 선택지 중에서 최종 이미지의 위치(어느 사분면) 와 방향(M 의 봉우리가 어디를 향하는지) 이 모두 일치하는 그림을 고르면 됩니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
(diagram) M rotated 90° clockwise (lying on its right side)
(B)
(diagram) M rotated 270° clockwise (lying on its left side)
(C)
(diagram) M rotated 90° clockwise (alternate orientation)
(D)
(diagram) M rotated 180° (upside-down W)
(E)
(diagram) M rotated 270° clockwise (alternate orientation)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 직접 만져보기

대각선 y = x 에 대한 대칭은 머릿속에서 자주 헷갈리므로 도구 #10(직접 만져보기)이 가장 안전합니다. 종이에 M 을 오려 내고, 다른 종이에 p 와 q 를 그린 뒤, 오린 M 을 q 위에서 한 번 뒤집고 그 결과를 다시 p 위에서 한 번 더 뒤집어 보면 방향이 정확히 보입니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 같은 동작을 머릿속으로 하는 단계, 도구 #3(가능성 지우기)은 사분면 위치만으로 다섯 개 중 두세 개를 곧바로 탈락시키는 객관식 안전망입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 좌표 위에 중간 결과를 깔끔하게 추적하는 용도이고, 마지막에는 "교차하는 두 직선에 대한 두 대칭의 합성 = 단일 회전" 정리로 답을 한 줄로 검증합니다.

1STEP 1

처음 도형 그리기

그림을 그려요: p 는 x 축, q 는 y = x 로 두고, 똑바로 선 M 을 제1사분면에 봉우리가 위(+y)를 향하도록 그립니다.

M₀의 중심 ≈ (0.25, 0.6), 봉우리는 +y 방향
2STEP 2

첫 번째 직선에 대칭시키기

q (y = x)에 대칭: 좌표를 맞바꾸면 중심이 (0.25, 0.6) 에서 (0.6, 0.25) 로 — 여전히 제1사분면, 오른쪽 아래.

(x, y) → (y, x): (0.25, 0.6) → (0.6, 0.25)
3STEP 3

방향 따라가기

방향도 추적: 위 화살표 (0, +1)이 (+1, 0)으로 가서 M 은 옆으로 눕고 봉우리는 오른쪽 — 곧 rotate(270°) M.

봉우리 방향: (0, +1) → (+1, 0); 자세 = rotate(270°) M
4STEP 4

두 번째 직선에 대칭시키기

p (x 축)에 대칭: y 만 부호가 바뀌어 (0.6, 0.25)가 (0.6, -0.25) 로 — 제1사분면을 벗어나 제4사분면으로.

(x, y) → (x, -y): (0.6, 0.25) → (0.6, -0.25)
5STEP 5

최종 방향 확인하기

x 축 대칭은 x 를 유지해 봉우리는 그대로 오른쪽 — 자세는 rotate(270°) M, 위치만 제4사분면; 둘 다 맞는 건 (E) 뿐.

최종: rotate(270°) M, 위치는 제4사분면 → (E)
정답
(그림) M을 시계 방향으로 270° 돌린 모양 (다른 방향)
선택지를 빠르게 점검해 봅시다. (A) 제4사분면이지만 rotate(90°) M — 방향이 다름. (B) rotate(270°) M 이지만 위치가 제2사분면 — 위치가 다름. (C) rotate(90°) M 이 제1사분면 — 위치도 방향도 다름. (D) rotate(180°) M 이 제3사분면 — 방향이 다름. (E) rotate(270°) M 이 제4사분면 — 3·5단계의 방향과 4단계의 사분면 위치가 모두 일치. 또한 "제1사분면에서 출발한 M 이 시계 방향 90° 회전을 한 번 한 결과는 제4사분면" 이라는 직관적 그림과도 정확히 맞아떨어집니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 "대칭이 좌표를 어떻게 바꾸는가" 규칙만 알면 풀 수 있어요 — y=x 대칭으로 x 와 y 를 맞바꾸고, x 축 대칭으로 y 의 부호만 바꾸면 답 (E)가 됩니다!

  • 처음 도형 그리기
  • 첫 번째 직선에 대칭시키기
  • 방향 따라가기
  • 두 번째 직선에 대칭시키기
  • 최종 방향 확인하기

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