경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2023 · #7

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
coordinate-geometrylinear-equations-two-varslope-intercept coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
변이 x축, y축과 평행한 작은 직사각형이 한 꼭짓점은 (15, 3), 마주보는 꼭짓점은 (16, 5)에 있습니다. 또 A(0,0)과 B(3,1)을 지나는 직선 하나, C(0,10)과 D(2,9)를 지나는 직선이 그어져 있습니다. 이 두 직선 중 적어도 하나 위에 있는, 직사각형(네 변과 꼭짓점)의 점은 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

문제 자체가 모눈종이 위에 그려져 있으니, 가장 자연스러운 방법은 두 직선을 직사각형 쪽까지 직접 연장해서 눈으로 확인하는 것입니다(도구 #1). 두 직선은 서로 무관하므로 "ℓ₁이 직사각형을 지나는가?", "ℓ₂가 직사각형을 지나는가?" 두 개의 작은 문제로 쪼개서 답을 더하면 됩니다(도구 #7). 각 직선의 x=15, x=16 에서의 y 값만 알면 직사각형의 y 범위 [3,5]와 비교하는 매우 작은 사례 검토로 끝나며, 선택지 다섯 개 중 네 개가 곧바로 제외됩니다(도구 #3).

1STEP 1

직사각형 범위 나타내기

변이 축에 평행하고 마주보는 꼭짓점이 (15,3), (16,5)이니 직사각형은 딱 15 ≤ x ≤ 16, 3 ≤ y ≤ 5 인 띠.

직사각형 = {(x,y) : 15 ≤ x ≤ 16, 3 ≤ y ≤ 5}
2STEP 2

첫 번째 직선의 식 구하기

A(0,0)에서 B(3,1)로 오른쪽 3에 위로 1, 원점을 지나니 규칙은 ℓ₁: y=13\frac{1}{3}x.

ℓ₁: y = 1/3x
3STEP 3

첫 번째 직선 확인하기

띠에서 ℓ₁은 x=15 서 y=5, x=16 서 ≈5.33 — 띠 위쪽이라 한 높이만 공유해 꼭짓점 (15,5) 에서만 접촉.

ℓ₁(15)=5, ℓ₁(16)=16/3≈ 5.33 → (15,5) 에서만 접촉
4STEP 4

두 번째 직선 확인하기

ℓ₂: y=−12-\frac{1}{2}x+10은 x=15 서 2.5, x=16 서 2 — 띠 [3,5] 보다 완전히 아래라 교점 없음.

ℓ₂: y=-1/2x+10; ℓ₂(15)=2.5, ℓ₂(16)=2
5STEP 5

두 개수 더하기

ℓ₁은 꼭짓점 (15,5) 하나, ℓ₂는 없음, 겹칠 일도 없으니 경계 위 점의 총 개수는 (B).

1 + 0 = 1 → (B)
정답
1
1이 그럴듯한 값일까요? ℓ₁은 원점에서 기울기 13\frac{1}{3} 로 올라가니 x=15 에서 정확히 y=5가 되어, 직사각형의 꼭짓점 (15,5)에 살짝 닿는 "가장자리 접촉" 만 일어나야 합니다 — 예상과 일치. ℓ₂는 (0,10) 에서 시작해 한 칸당 12\frac{1}{2} 씩 내려오니 x=15 무렵에는 y 가 이미 3 보다 낮아져, 직사각형 아래로 빠져나갑니다. 총 1 점이라는 답은 일관됩니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 일차함수 (y=mx+b 규칙)만 알면 풀려요!

  • 직사각형 범위 나타내기
  • 첫 번째 직선의 식 구하기
  • 첫 번째 직선 확인하기
  • 두 번째 직선 확인하기
  • 두 개수 더하기

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