AMC 8 · 2024 · #14

학년 2 geometry-2d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Shortest Route in Weighted Network

systematic-enumerationmulti-digit-arithmetic shortest-pathidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

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문제

여섯 마을 A, M, C, X, Y, Z 사이에 일방통행 도로가 그려져 있고 각 도로의 길이(km)가 표시되어 있습니다. 이 도로들만 이용해서 A 에서 Z 까지 갈 때 가장 짧은 총 거리(km) 가 얼마인지를 묻는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 위치와 길의 연결을 다루는 전형적인 지도 문제입니다. 그래서 가장 먼저 할 일은 도구 #1 — 마을과 화살표·거리를 한눈에 보이게 그림으로 정리하는 것입니다. 그런 다음 "A 에서 Z 까지"라는 큰 문제를 "A 에서 각 중간 마을까지의 최단 거리"라는 작은 문제들로 쪼개면(도구 #7), 같은 덧셈을 반복하지 않고도 답을 찾을 수 있습니다. 마지막 단계에서는 Z 에 닿는 후보 경로들을 빠짐없이 나열(도구 #2)해 가장 짧은 것을 고르고, 그 값이 선택지에 있는지 도구 #3으로 확인합니다.

1STEP 1

화살표 정리: A 에서 나가는 건 A→X, A→M 둘, Z 로 들어오는 건 M, Y, C 셋뿐 — 경로는 Z 로 한 걸음에 끝나요.

A → X, A → M, M → Z, Y → Z, C → Z

2STEP 2

첫 층: A→X = 5(길 하나뿐). M 은 직행 A→M = 8 과 우회 A→X→M = 5+2 = 7 을 비교해 최단 7.

A→ X: 5. A→ M: min(8, 5+2) = min(8, 7) = 7

3STEP 3

다음 층은 앞 결과 재사용: A→Y = min(15, 13) = 13, A→C = min(21, 18) = 18.

A→ Y: min(5+10, 7+6) = min(15, 13) = 13. A→ C: min(7+14, 13+5) = min(21, 18) = 18

4STEP 4

Z 로 가는 마지막 걸음: M 경유 32, Y 경유 30, C 경유 28 중 가장 작은 28 이 최단 거리예요.

min(7+25, 13+17, 18+10) = min(32, 30, 28) = 28

5STEP 5

28 을 선택지와 맞추면 정확히 (A). 30, 32 는 더 긴 경로 값이고, 29, 31 은 경로 총합에 등장하지 않아요.

28 → (A)

정답

최적 경로 A → X → M → Y → C → Z 의 길이를 한 번에 다시 더해 보면 5 + 2 + 6 + 5 + 10 = 28 으로, 단계별로 누적한 값과 정확히 일치합니다. 또 A 에서 가장 가까운 X(5)로 출발해 모든 중간 마을을 거치며 짧은 변만 모은 결과이므로 28 이라는 값은 크기 감각으로도 합리적입니다. Z 로 직접 들어오는 단일 화살표 중 가장 짧은 것이 C→ Z = 10 이라는 사실이 우리가 고른 마지막 한 걸음과 일치한다는 점도 좋은 검산이 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 100 이내 덧셈과 두 자리 수 비교만 알면 풀려요!

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