AMC 8 · 2024 · #6

학년 2 arithmetic

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Shortest Route in Weighted Network

perimeterspatial-visualization path-length-comparison ↑ 선수 지식: perimetermental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 양쪽 끝에 반원이 붙은 모양의 아이스링크 위에 네 가지 스케이트 경로가 그려져 있습니다. 경로 P는 링크의 바깥 둘레를 그대로 따라갑니다. 경로 R은 링크 안에 내접하는 직사각형으로, P의 반원 부분을 짧은 직선 현(수직선)으로 바꿔 놓은 것입니다. 경로 S는 링크 중앙 직사각형의 모서리에서 모서리로 가는 두 개의 긴 대각선이 가운데서 교차하는 모양입니다. 경로 Q는 대각선처럼 출발하지만 중간에 가로로 우회하는 지그재그 경로입니다. 네 경로 P, Q, R, S를 가장 짧은 것부터 가장 긴 것 순으로 나열해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

P,Q,R,S

(B)

P,R,S,Q

(C)

Q,S,P,R

(D)

R,P,S,Q

(E)

R,S,P,Q

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기 (Draw a Diagram)

문제 자체가 그림이므로 도구 #1(그림)이 출발점입니다. 그림 위에서 한 경로의 어떤 부분이 다른 경로의 어떤 부분과 같은지 직접 비교합니다. 네 경로를 한꺼번에 비교하기 어려우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (R vs P), (S vs Q), (P vs S)의 세 쌍 비교로 나눕니다. 각 쌍 비교는 '직선 vs 곡선' 또는 '직선 vs 지그재그' 한 줄짜리 관찰입니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 보기를 검사해 살아남는 하나를 고릅니다. 대수도, 공식도, 실측도 필요하지 않고 그림을 잘 보는 것만 필요합니다.

1STEP 1

긴 두 변은 같고 끝만 다릅니다 — P는 호, R은 직선 현. 현이 호보다 짧으므로 R ＜ P.

직선 현 ＜ 같은 끝점을 가진 호 → R ＜ P

2STEP 2

S는 곧은 대각선, Q는 같게 출발하다 옆으로 우회. 직선이 지그재그보다 짧으므로 S ＜ Q.

직선 대각선 ＜ 같은 끝점의 지그재그 → S ＜ Q

3STEP 3

남은 비교는 P와 S뿐. P는 둘레 한 바퀴, S는 긴 링크를 두 번 가로지르니 대각선 둘이 더 길어 P ＜ S.

P ＜ S

4STEP 4

세 비교를 잇습니다 — R ＜ P, P ＜ S, S ＜ Q. 간접 비교로 R ＜ P ＜ S ＜ Q.

R ＜ P, P ＜ S, S ＜ Q → R ＜ P ＜ S ＜ Q

5STEP 5

R ＜ P ＜ S ＜ Q를 보기와 맞추면 다른 보기는 모두 한 쌍이 어긋나 (D) R, P, S, Q만 남습니다.

순서 = R, P, S, Q → (D)

정답

R,P,S,Q

각 쌍 비교는 모두 같은 한 가지 사실에 기댑니다 — '두 점 사이는 직선이 가장 짧다'. 끝 부분에서는 R이 P를 이기고(직선 현 vs 반원호), 중간에서는 S가 Q를 이기며(직선 대각선 vs 지그재그), 전체적으로는 둘레 한 바퀴(P)가 긴 대각선 두 개(S)보다 짧습니다. 이를 합치면 R ＜ P ＜ S ＜ Q 가 되고, 다섯 보기 중 정확히 (D)만 이 순서와 일치합니다. 공식 정답 (D)와 같습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 도형 알아보기와 길이 비교만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기