경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2024 · #18

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesratio-proportionfraction-arithmetic area-differenceratio-proportion ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

중심이 같은 세 원의 반지름이 각각 1, 2, 3 입니다. 안쪽 링(반지름 1과 2 사이) 전체가 색칠되어 있고, 바깥쪽 링(반지름 2와 3 사이)에서는 중심각 ∠ BOC = x^° 인 부채꼴 부분만 색칠되어 있습니다. 색칠된 넓이와 색칠되지 않은 넓이가 같다고 할 때 x 의 값을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

108

(B)

120

(C)

135

(D)

144

(E)

150

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

색칠된 영역은 "안쪽 링 전체" + "바깥쪽 링의 부채꼴 일부" 의 합으로 이루어진 복합 도형입니다. 그래서 가장 자연스러운 첫 수는 도구 #7 — 우리가 이미 다룰 줄 아는 두 조각으로 쪼개서 더하는 것입니다. 도구 #1로 "안쪽은 통째로, 바깥쪽은 일부만" 색칠된 그림을 머릿속에 정리해 두면 헷갈리지 않습니다. 마지막으로 도구 #3으로 결과를 선택지와 맞춥니다. 도구 #13(대수) 대신, 바깥쪽 링이 만들어 줘야 할 넓이가 1.5π, 바깥쪽 링 전체가 5π 이므로 분수 1.5/5 = 3/10 만큼만 채우면 된다는 단순한 "전체의 몇 분의 몇" 추론으로 각도를 곧장 얻습니다.

1STEP 1

각 원의 넓이 구하기

A = π r²로 세 원의 넓이는 π, 4π, 9π 이고, 전체 도형의 넓이는 9π 입니다.

A₁ = π, A₂ = 4π, A₃ = 9π → 전체 = 9π

2STEP 2

그림을 두 고리로 나누기

두 링으로 쪼개면, 안쪽 링은 4π - π = 3π(전체 색칠), 바깥쪽 링은 9π - 4π = 5π(일부만 색칠).

A_안쪽 링 = 4π - π = 3π, A_바깥쪽 링 = 9π - 4π = 5π

3STEP 3

조건을 넓이로 바꾸기

색칠 = 비색칠 이면 각각 9π 의 절반이므로, 색칠된 넓이는 4.5π 여야 합니다.

색칠된 넓이 = 1/2 · 9π = 4.5π

4STEP 4

부채꼴이 채울 넓이 구하기

안쪽 링이 3π 를 채우니 부채꼴은 4.5π - 3π = 1.5π, 곧 바깥쪽 링의 $\frac{1.5\pi}{5\pi}$ = $\frac{3}{10}$ 입니다.

필요한 부채꼴 넓이 = 4.5π - 3π = 1.5π, 1.5π/5π = 3/10

5STEP 5

넓이 비를 각도로 바꾸기

부채꼴의 중심각은 넓이 비율만큼 360^° 를 차지하므로, 360^° 의 $\frac{3}{10}$ 은 ∠ BOC = 108^° 입니다.

∠ BOC = 3/10 · 360^° = 108^°

6STEP 6

선택지와 맞춰 보기

108, 120, 135, 144, 150 중 108^° 는 정확히 (A) 이고, 더 큰 각은 4.5π 를 넘게 색칠합니다.

108^° → (A)

정답

108

x = 108^° 를 색칠 넓이 식에 다시 대입하면 3π +

\frac{108}{360}

· 5π = 3π +

\frac{3}{10}

· 5π = 3π + 1.5π = 4.5π 가 되어, 정확히 9π 의 절반이 됩니다. 즉 색칠된 넓이와 색칠되지 않은 넓이가 같다는 조건을 만족합니다. 크기 감각으로도 자연스럽습니다. 바깥쪽 링(5π)이 안쪽 링(3π)보다 크기 때문에 그 일부만 잘라도 절반 채우기가 가능하고, 실제로 108^° 는

\frac{1}{3}

· 360^° = 120^° 보다 약간 작은 "적당한 한 조각" 입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 원의 넓이 공식 A = π r²만 알면 풀려요!

각 원의 넓이 구하기
그림을 두 고리로 나누기
조건을 넓이로 바꾸기
부채꼴이 채울 넓이 구하기
넓이 비를 각도로 바꾸기
선택지와 맞춰 보기

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