AMC 8 · 2024 · #24

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Overlapping Translates

area-trianglesperfect-squares area-differencecasework ↑ 선수 지식: area-trianglesmulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

두 개의 산 모양이 겹쳐진 스테인드글라스 작품이 있습니다. 각 산의 꼭대기 각은 90° 이고, 산의 두 직선 변은 땅과 45° 각도를 이룹니다. 왼쪽 산의 꼭대기 높이는 8 피트, 오른쪽 산의 꼭대기 높이는 12 피트이고, 작품 전체의 넓이는 183 제곱피트입니다. 두 산은 겹쳐 있고, 안쪽 변들이 교차하는 점은 땅으로부터 h 피트 위에 있습니다. 이때 h 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$4\sqrt{2}$

(D)

(E)

$5\sqrt{2}$

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

작품은 두 큰 산 모양 삼각형이 겹쳐진 합집합이므로, 먼저 도구 #1 그림 그리기 로 각 산의 안쪽 변을 땅까지 늘려 봅니다. 그러면 두 개의 완전한 45-45-90 큰 삼각형이 작은 거꾸로 된 45-45-90 삼각형에서 겹치는 모습이 보입니다. 도구 #7 작은 문제로 쪼개기 로 문제를 큰 삼각형 두 개 + 겹침 한 개의 세 가지 친근한 넓이로 나눕니다. 산의 밑변을 높이에서 구할 때는 도구 #9 더 쉬운 문제로 줄이기 — 작은 단위 산을 그려 보면 45° 경사는 "오른쪽으로 1, 위로 1" 이므로 밑변이 꼭대기 높이의 두 배라는 것이 보입니다. h² = 25 가 나오면 도구 #6 추측하고 확인하기 로 h = 5 를 바로 찾고, 객관식이므로 도구 #3 가능성 지우기 로 √(2) 가 들어간 선택지나 다른 후보들을 모두 배제합니다.

1STEP 1

각 안쪽 변을 땅까지 늘리면 두 큰 삼각형이 작은 삼각형에서 겹칩니다. 그래서 왼쪽 + 오른쪽 - 겹침 = 183.

왼쪽 넓이 + 오른쪽 넓이 - 겹침 넓이 = 183

2STEP 2

각 산은 직각이등변삼각형이라 밑변이 꼭대기 높이의 두 배입니다: 왼쪽 밑변 = 16, 오른쪽 밑변 = 24.

왼쪽 밑변 = 2 × 8 = 16, 오른쪽 밑변 = 2 × 12 = 24

3STEP 3

각 큰 삼각형은 밑변 × 높이 ÷ 2 로 넓이를 구합니다: 왼쪽 넓이 = 64, 오른쪽 넓이 = 144 제곱피트.

왼쪽 넓이 =

\frac{1}{2}

· 16 · 8 = 64, 오른쪽 넓이 =

\frac{1}{2}

· 24 · 12 = 144

4STEP 4

겹침은 높이 h, 밑변 2h 인 거꾸로 된 직각이등변삼각형이라 넓이는 h² 입니다.

겹침 넓이 =

\frac{1}{2}

· (2h)· h = h²

5STEP 5

64 + 144 - h² = 183 에 대입하고 정리하면 h² = 25.

64 + 144 - h² = 183 → h² = 208 - 183 = 25

6STEP 6

h 는 양의 높이이므로 h = 5 피트, 즉 (B). √(2) 선택지는 h² = 32, 50 이라 탈락.

5² = 25 → h = 5 → (B)

정답

크기 감각으로 검산해 봅니다. 두 큰 삼각형을 합하면 64 + 144 = 208 제곱피트인데 작품은 183 이니, 겹치는 부분은 25 제곱피트만큼 가져갑니다 — 중앙의 좁은 쐐기 모양에 딱 어울리는 작은 양입니다. 겹침의 꼭짓점 높이 h = 5 피트는 두 산의 꼭대기 (8, 12) 보다 낮고 땅 (0) 보다 높아서 기하적으로 가능합니다. 다시 대입해 보면 64 + 144 - 5² = 208 - 25 = 183 으로 정확히 맞고, 단위는 모두 제곱피트로 일관됩니다. √(2) 가 들어간 선택지들은 비스듬한 변의 길이를 노린 함정이지, 문제에서 묻는 "수직 높이" 가 아닙니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 삼각형 넓이 생각만 알면 풀려요!

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