AMC 8 · 2025 · #15

학년 6 countingalgebra

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

reflection-symmetrypaper-foldingsystems-of-equationscombinations-basic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-two-varsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

6 × 6 격자에 은색 칸이 13 개, 금색 칸이 23 개 있습니다. 격자를 세로로 반 접으면 1 열과 6 열, 2 열과 5 열, 3 열과 4 열이 겹쳐서 총 18 개의 쌍이 만들어집니다. 각 쌍은 은-은(SS), 은-금(SG), 금-금(GG) 세 종류 중 하나이고, 금-금 쌍 개수의 최솟값 m 과 최댓값 M 을 구해 m + M 의 값을 묻고 있습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

은색 칸의 개수를 두 가지 방식으로 세어 P_SS, P_SG, P_GG 를 잇는 두 식을 만들고, 두 식을 빼면 마법 같은 관계 P_GG = P_SS + 5 가 나옵니다 (도구 #13). 이 한 줄의 식이 '금-금 쌍의 최대·최솟값' 문제를 '은-은 쌍의 최대·최솟값' 문제로 바꿔 줍니다 — 금-금은 23 개의 금색 칸을 다뤄야 해서 머릿속에 그리기 어렵지만, 은색은 단 13 개라 훨씬 다루기 쉽기 때문입니다 (도구 #16, 관점 바꿔서 여집합 세기). 마지막으로 도구 #7 로 문제를 둘로 쪼개서 P_SS,min 과 P_SS,max 를 각각 구한 뒤, 두 값을 GG 쌍 개수로 되돌리면 됩니다.

1STEP 1

쌍을 P_SS, P_SG, P_GG로 두면 전체 쌍 =18, 은색 세기로 2P_SS + P_SG = 13.

P_SS + P_SG + P_GG = 18 2P_SS + P_SG = 13

2STEP 2

쌍 개수 식에서 은색 식을 빼면 P_SG가 사라지고 깔끔한 관계식 P_GG = P_SS + 5가 남습니다.

(P_SS + P_SG + P_GG) - (2P_SS + P_SG) = 18 - 13 → P_GG - P_SS = 5 → P_GG = P_SS + 5

3STEP 3

P_GG = P_SS + 5 이므로 P_GG의 최대·최소는 곧 P_SS의 최대·최소. 은색은 적어 SS 쌍이 세기 쉽습니다.

4STEP 4

작은 문제 1 (M): 은색을 SS 쌍에 몰아넣으면 최대 ⌊ $\frac{13}{2}$ ⌋=6 쌍(1개 남음), 그래서 M = 6 + 5 = 11.

P_SS,max = ⌊

\frac{13}{2}

⌋ = 6 → M = P_SS,max + 5 = 11

5STEP 5

작은 문제 2 (m): 은색을 겹치지 않게 흩어 놓으면 P_SS=0(18칸에 13개라 쉬움), 그래서 m = 0 + 5 = 5.

P_SS,min = 0 → m = P_SS,min + 5 = 5

6STEP 6

두 극단을 더하면 m + M = 5 + 11 = 16, 선택지 (C).

m + M = 5 + 11 = 16 → (C)

정답

관계식 P_GG = P_SS + 5 가 양 끝에서 모순 없는지 확인합니다. P_SS = 0 일 때: P_SG = 13, P_GG = 5, 총 0 + 13 + 5 = 18. ✓ P_SS = 6 일 때: P_SG = 13 - 12 = 1, P_GG = 11, 총 6 + 1 + 11 = 18. ✓ 모든 값이 0 이상 18 이하의 정수이고 두 색칠 모두 실제 6 × 6 격자에서 만들 수 있습니다. m + M = 16 은 선택지 (A) ∼ (E) 범위 중간에 있어 '양 극단의 합' 문제 답으로 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 '문자식 세우고 두 식을 빼서 관계식 만들기' 만 알면 풀 수 있어요!

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