경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2005 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Geometric Area via Inclusion-Exclusion or Area Balance

area-circlesarea-rectanglesarea-differenceset-partition identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesarea-rectangles

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 2 인 정사각형과 한 원이 같은 중심을 공유합니다. 원의 안쪽이면서 정사각형 바깥인 부분의 넓이는, 정사각형 안쪽이면서 원 바깥인 부분의 넓이와 같습니다. 원의 반지름 r 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{\sqrt{\pi}}$

(B)

$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

(C)

$\frac{3}{2}$

(D)

$\sqrt{3}$

(E)

$\sqrt{\pi}$

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

정사각형과 원이 겹친 영역은 모양이 복잡하지만, 문제는 그 넓이를 묻지 않습니다. 이게 바로 도구 #11 (변하지 않는 것 찾기)의 신호예요. 겹친 부분의 넓이를 I 라 놓으면 식의 양변에 똑같이 나타나 그대로 지워집니다. 도구 #1 (그림 그리기)로 같은 중심을 가진 원과 정사각형을 그려 놓으면 세 부분(원만, 정사각형만, 겹친 부분)이 분명히 보이고, 각 도형 전체에서 겹친 부분을 빼는 일이 자연스러워집니다. I 가 사라진 뒤에는 원의 넓이가 정사각형의 넓이와 같아지고, 넓이 공식 하나로 r 이 나옵니다.

1STEP 1

세 부분에 이름 붙이기

같은 중심의 두 도형을 그리고 겹친 부분을 I 라 하면, 원만인 영역은 π r² - I, 정사각형만인 영역은 4 - I 입니다.

원만 = π r² - I, 정사각형만 = 4 - I

2STEP 2

두 넓이 같다고 놓기

두 초승달을 같다고 놓으면 모르는 I 가 양변에서 지워져 π r² = 4 만 남고, 원과 정사각형의 넓이가 같아야 합니다.

π r² - I = 4 - I → π r² = 4

3STEP 3

반지름 구하기

π r² = 4를 r 에 대해 풀어 π 로 나누면 r² = $\frac{4}{π}$ , 반지름은 양수이므로 양의 제곱근을 취하면 (A)가 됩니다.

r² = 4/π → r = √(4/π) = 2/√(π) → (A)

정답

2/√(π)

크기를 확인합시다. π ≈ 3.14 이므로 r =

\frac{2}{\sqrt{3.14}}

≈

\frac{2}{1.77}

≈ 1.13. 정사각형에 내접하는 원의 반지름은 1, 외접하는 원의 반지름은 √(2) ≈ 1.41 이므로, 답 1.13은 그 사이에 들어갑니다 — 두 초승달 넓이가 같으려면 정확히 그 위치에 있어야 해요. (C)

\frac{3}{2}

= 1.5는 너무 커서 원이 정사각형을 거의 삼키게 되고, (B)

\frac{1+\sqrt{2}}{2}

≈ 1.21은 가깝지만 넓이가 같아지지 않습니다: π(1.21)² ≈ 4.59 ≠ 4.

💡핵심 정리

복잡한 겹친 부분의 넓이는 결코 구할 필요가 없어요 — 양변에 똑같이 나타나 그대로 지워지니까요. 그 뒤에는 원의 넓이와 정사각형의 넓이가 같다는 식만 남고, 제곱근 한 번으로 r = $\frac{2}{\sqrt{π}}$ 가 나옵니다.

세 부분에 이름 붙이기
두 넓이 같다고 놓기
반지름 구하기

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세 부분에 이름 붙이기

두 넓이 같다고 놓기

반지름 구하기

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