AMC 10 · 2015 · #6
쉬운 모드 학년 2마디는 일주일 동안 매일 정확히 한 가지 운동을 합니다. 그는 일주일에 세 번 달리는데, 이틀 연속으로는 절대 달리지 않습니다. 월요일에는 농구를 하고, 이틀 뒤에 골프를 칩니다. 또 어느 하루는 수영을 하고, 어느 하루는 테니스를 칩니다. 달리거나 수영한 날의 바로 다음 날에는 절대 테니스를 치지 않습니다. 마디는 무슨 요일에 수영을 할까요?
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AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 마디는 일주일 7일 동안 매일 정확히 한 가지 운동을 한다. 일부 요일과 규칙은 정해져 있고 나머지는 추론으로 알아내야 한다. 그가 수영하는 요일을 찾아라.
주어진 것: 그는 일주일에 3일 달리기를 하고, 이틀 연속으로는 절대 달리지 않는다.; 월요일은 농구이고, 이틀 뒤(수요일)는 골프다.; 그는 하루는 수영을 하고 하루는 테니스를 친다.; 달리기한 날이나 수영한 날의 바로 다음 날에는 절대 테니스를 치지 않는다.
구하는 것: 마디가 수영하는 요일.
이해
문제 재정리: 마디는 일주일 7일 동안 매일 정확히 한 가지 운동을 한다. 일부 요일과 규칙은 정해져 있고 나머지는 추론으로 알아내야 한다. 그가 수영하는 요일을 찾아라.
주어진 것: 그는 일주일에 3일 달리기를 하고, 이틀 연속으로는 절대 달리지 않는다.; 월요일은 농구이고, 이틀 뒤(수요일)는 골프다.; 그는 하루는 수영을 하고 하루는 테니스를 친다.; 달리기한 날이나 수영한 날의 바로 다음 날에는 절대 테니스를 치지 않는다.
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기
이미 이틀이 정해져 있어 남은 5일에 달리기 3일과 수영, 테니스를 배치하면 된다. 달리기를 놓을 수 있는 몇 안 되는 합법적인 방법을 나열한 뒤, 테니스를 규칙 위반 자리에 강제하는 경우를 지워 나간다. 살아남는 배치는 하나뿐이고, 그것이 수영하는 날을 정해 준다.
실행 — 정답: E
1.OA.A.1 단계 1 정해진 날 채우기
- 월요일은 농구다.
- 월요일에서 이틀 뒤는 수요일이므로 수요일은 골프다.
- 그러면 화요일, 목요일, 금요일, 토요일, 일요일이 달리기 3일과 수영, 테니스를 위해 비어 있다.
💡 추측하기 전에 이미 아는 것부터 못 박아 둔다.
1.OA.A.1 단계 2 화요일은 반드시 달리기
- 빈 날은 화요일, 그리고 목-금-토-일 네 날이 붙어 있는 덩어리다.
- 연속된 네 날 안에는 서로 붙지 않게 달리기를 많아야 둘만 넣을 수 있다(예: 목요일과 토요일).
- 달리기 3일을 채우려면 그 덩어리 밖에 한 날이 필요하고, 가능한 건 화요일뿐이다.
- 그래서 화요일은 달리기 날이다.
💡 연속된 네 날에는 떨어진 달리기를 둘밖에 못 넣으니 세 번째 달리기는 밖으로 밀려난다.
2.OA.A.1 단계 3 남은 두 달리기 나열하기
- 화요일이 달리기 한 날이고, 나머지 두 달리기는 목, 금, 토, 일 중에서 서로 붙지 않게 골라야 한다.
- 붙지 않는 짝은 목과 토, 목과 일, 금과 일뿐이다.
💡 그 네 날에 들어가는 떨어진 짝은 세 가지뿐이니 셋 다 확인하면 된다.
2.OA.A.1 단계 4 나쁜 달리기 배치 지우기
- 각 배치에서 남는 두 날이 수영과 테니스를 맡는데, 테니스는 달리기나 수영 바로 다음 날에 올 수 없다.
- 목·토 달리기는 금·일을 남기는데 둘 다 달리기 바로 다음 날이라 테니스가 될 수 없다 - 탈락.
- 목·일 달리기는 금·토를 남기는데 금은 달리기 다음 날이라 테니스는 토, 수영은 금이 되지만 토는 수영 다음 날이라 안 된다 - 탈락.
- 금·일 달리기는 목·토를 남기는데 토는 달리기 다음 날이라 테니스는 목(수요일 골프 다음 날이라 허용), 수영은 토 - 이것은 성립한다.
💡 테니스 규칙은 수영이 토요일에 오는 경우만 빼고 남는 날을 전부 막아 버린다.
1.OA.A.1 단계 5 수영하는 날 읽어 내기
- 유일하게 합법적인 한 주는 월요일 농구, 화요일 달리기, 수요일 골프, 목요일 테니스, 금요일 달리기, 토요일 수영, 일요일 달리기다.
- 마디는 토요일에 수영하고, 이는 보기 (E)다.
💡 모든 규칙을 통과하는 배치는 하나뿐이고, 그것이 수영을 토요일에 놓는다.
1.OA.A.1 월요일은 농구다. 월요일에서 이틀 뒤는 수요일이므로 수요일은 골프다. 그러면 화요일, 목요일, 금요일, 토요일, 일요일이 달리기 3일과 수영, 1.OA.A.1 빈 날은 화요일, 그리고 목-금-토-일 네 날이 붙어 있는 덩어리다. 연속된 네 날 안에는 서로 붙지 않게 달리기를 많아야 둘만 넣을 수 있다( 2.OA.A.1 화요일이 달리기 한 날이고, 나머지 두 달리기는 목, 금, 토, 일 중에서 서로 붙지 않게 골라야 한다. 붙지 않는 짝은 목과 토, 목과 일, 2.OA.A.1 각 배치에서 남는 두 날이 수영과 테니스를 맡는데, 테니스는 달리기나 수영 바로 다음 날에 올 수 없다. 목·토 달리기는 금·일을 남기는데 둘 1.OA.A.1 유일하게 합법적인 한 주는 월요일 농구, 화요일 달리기, 수요일 골프, 목요일 테니스, 금요일 달리기, 토요일 수영, 일요일 달리기다. 마디는 검토
합리성 확인: 살아남은 한 주를 모든 규칙에 대조해 본다: 달리기는 화·금·일 - 세 날이고 서로 붙어 있지 않다. 농구는 월요일, 골프는 이틀 뒤 수요일. 테니스는 목요일로 골프 다음 날이며 달리기나 수영 다음 날이 아니다. 각 달리기 다음 날은 수요일(골프), 토요일(수영), 월요일(농구)로 테니스가 없고, 수영 다음 날은 일요일(달리기)로 테니스가 아니다. 모든 조건이 맞으므로 토요일 수영이 일관된다.
대안 접근: 달리기 대신 테니스부터 시작할 수도 있다. 테니스는 강제된 화요일 달리기 다음 날에 올 수 없고 수영 다음 날에도 올 수 없으며 남는 날도 빠듯하다. 각 테니스 후보 날을 규칙에 대조해 봐도 테니스는 목요일만 남고 수영은 토요일로 강제된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)
1.OA.A.1Solve addition and subtraction word problems within 20 (요일을 앞으로 세고(월요일에서 이틀 뒤) 어떤 날들이 서로 붙어 있는지 판단하기.)2.OA.A.1Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 (여러 날에 걸친 달리기·수영·테니스 규칙을 결합해 각 배치를 시험하고 지우기.)
⭐ 아는 것부터 못 박고, 합법적인 몇 가지 경우를 나열한 다음, 규칙을 어기는 것을 지워라.
⭐ 아는 것부터 못 박고, 합법적인 몇 가지 경우를 나열한 다음, 규칙을 어기는 것을 지워라.
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