AMC 10 · 2021 · #17

쉬운 모드 학년 2

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문제

카드 $10$ 장을 떠올려봅시다. 각 카드에는 $1, 2, 3, \dots, 10$ 중에서 한 숫자가 적혀 있어요.

다섯 친구 Ravon, Oscar, Aditi, Tyrone, Kim이 게임을 합니다. 친구마다 카드를 정확히 $2$ 장씩 받아요. 카드는 모두 누군가에게 가고, 같은 카드를 두 사람이 나눠 가질 수는 없습니다.

각 친구의 점수는 자기 카드 두 장에 적힌 수의 합이에요. 다섯 명의 점수는 다음과 같습니다.

Ravon: $11$
Oscar: $4$
Aditi: $7$
Tyrone: $16$
Kim: $17$

아래 다섯 문장 중에서 참인 것은 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Ravon was given card 3.

(B)

Aditi was given card 3.

(C)

Ravon was given card 4.

(D)

Aditi was given card 4.

(E)

Tyrone was given card 7.

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 명 (Ravon, Oscar, Aditi, Tyrone, Kim)이 $1$부터 $10$까지 번호가 적힌 카드 한 벌에서 각각 $2$ 장씩 받습니다. 카드 $10$ 장은 모두 정확히 한 번씩 분배됩니다. 점수는 받은 두 카드 숫자의 합. 점수가 $11, 4, 7, 16, 17$ 일 때, 누가 어떤 카드를 받았는지에 대한 다섯 진술 중 참인 것을 찾으세요.

주어진 것: $1$부터 $10$까지 번호가 적힌 $10$ 장의 카드, 각각 정확히 한 명에게; 각 사람은 정확히 $2$ 장씩; 점수: Ravon $= 11$, Oscar $= 4$, Aditi $= 7$, Tyrone $= 16$, Kim $= 17$; 선택지: (A) Ravon 이 $3$, (B) Aditi 가 $3$, (C) Ravon 이 $4$, (D) Aditi 가 $4$, (E) Tyrone 이 $7$

구하는 것: 다섯 진술 중 참인 것

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

도구 #3 (가능성 지우기)가 딱 맞습니다: 각 점수에 대한 두 카드 분해는 몇 가지 안 되고, 가장 제약이 심한 점수 (가장 낮은 $4$, 가장 높은 $17$)는 분해가 단 하나입니다. 강제된 카드부터 잠그고 풀에서 빼면, 다음 사람의 선택지가 차례로 무너집니다. 도구 #2 (체계적 나열)는 단계마다 남은 풀에서 합이 점수와 같은 모든 $\{a, b\}$를 열거하는 데 사용. 모두 결정되면 다섯 진술 중 어느 것이 참인지 읽어내면 끝.

실행 — 정답: C

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 1

오스카의 카드 정하기

Oscar 의 점수가 가장 낮음 ($4$).
합이 $4$ 인 서로 다른 양의 정수 쌍은 $\{1, 3\}$ 뿐 ($\{2, 2\}$는 같은 카드 두 장이라 불가).
Oscar 는 $1, 3$ 보유.
풀에서 제거.

$\text{Oscar} = \{1, 3\}$; 풀 $= \{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

💡 가장 낮은 점수는 유일한 덧셈 사실 $1 + 3 = 4$를 강제.

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.B.2 단계 2

킴의 후보 좁히기

Kim 의 점수가 가장 높음 ($17$).
합이 $17$ 인 쌍: $\{7, 10\}, \{8, 9\}$ 두 개 — 아직 결정 안 됨.
Tyrone ($16$): $\{6, 10\}, \{7, 9\}$ — 역시 두 개.
둘 다 보류하고 Aditi 로 이동.

Kim: $\{7,10\}$ 또는 $\{8,9\}$; Tyrone: $\{6,10\}$ 또는 $\{7,9\}$

💡 두 점수가 동수일 때는 다음으로 제약 강한 점수로 이동.

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 3

아디티의 카드 정하기

Aditi 의 점수는 $7$.
합이 $7$ 인 쌍: $\{1, 6\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}$.
그런데 $1$과 $3$은 Oscar 가 가져갔으므로 $\{1,6\}, \{3, 4\}$ 탈락.
$\{2, 5\}$만 남음.
Aditi 는 $2, 5$ 보유.

$\text{Aditi} = \{2, 5\}$; 풀 $= \{4, 6, 7, 8, 9, 10\}$

💡 Oscar 의 $1, 3$이 빠지면 Aditi 의 "$=7$" 쌍은 $2 + 5$ 하나뿐.

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 4

라본의 카드 정하기

Ravon 의 점수는 $11$.
합이 $11$ 인 쌍: $\{1,10\}, \{2,9\}, \{3,8\}, \{4,7\}, \{5,6\}$.
$1, 2, 3, 5$가 모두 빠졌으므로 $\{1,10\}, \{2,9\}, \{3,8\}, \{5,6\}$ 탈락.
$\{4, 7\}$만 남음.

$\text{Ravon} = \{4, 7\}$; 풀 $= \{6, 8, 9, 10\}$

💡 지워 나가면 합이 $11$ 인 다섯 쌍 중 $\{4, 7\}$만 남음.

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 5

남은 네 장 나누기

이제 Tyrone ($16$)과 Kim ($17$)이 $\{6, 8, 9, 10\}$을 나눕니다.
합이 $16$ 인 쌍: $\{6, 10\}$만 ($\{7, 9\}$는 $7$이 이미 사용).
합이 $17$ 인 쌍: $\{8, 9\}$만.
따라서 Tyrone $= \{6, 10\}$, Kim $= \{8, 9\}$.
전원 배정 완료.

Tyrone $=\{6,10\}$, Kim $=\{8,9\}$

💡 두 명, 두 쌍 — 각자 한 쌍씩 강제.

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 6

답 읽어 내기

최종 배정: Oscar $\{1, 3\}$, Aditi $\{2, 5\}$, Ravon $\{4, 7\}$, Tyrone $\{6, 10\}$, Kim $\{8, 9\}$.
진술 확인: (A) Ravon 이 $3$ — 거짓 (Oscar 가 $3$).
(B) Aditi 가 $3$ — 거짓.
(C) Ravon 이 $4$ — 참.
(D) Aditi 가 $4$ — 거짓.
(E) Tyrone 이 $7$ — 거짓 (Ravon 이 $7$).
답: $(C)$.

$$\textbf{(C) Ravon 이 카드 4를 받음}$$

💡 유일한 배정과 일치하는 진술 하나만 골라내면 끝.

[1] #3 1.OA.A.1 Oscar 의 점수가 가장 낮음 ($4$). 합이 $4$ 인 서로 다른 양의 정수 쌍은 $\{1, 3\}$ 뿐 ($\{2, 2\}$는 같은 카드

[2] #2 2.OA.B.2 Kim 의 점수가 가장 높음 ($17$). 합이 $17$ 인 쌍: $\{7, 10\}, \{8, 9\}$ 두 개 — 아직 결정 안 됨. Tyro

[3] #3 1.OA.A.1 Aditi 의 점수는 $7$. 합이 $7$ 인 쌍: $\{1, 6\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}$. 그런데 $1$과 $3$은 Oscar

[4] #3 1.OA.A.1 Ravon 의 점수는 $11$. 합이 $11$ 인 쌍: $\{1,10\}, \{2,9\}, \{3,8\}, \{4,7\}, \{5,6\}$. $

[5] #3 1.OA.A.1 이제 Tyrone ($16$)과 Kim ($17$)이 $\{6, 8, 9, 10\}$을 나눕니다. 합이 $16$ 인 쌍: $\{6, 10\}$만

[6] #3 1.OA.A.1 최종 배정: Oscar $\{1, 3\}$, Aditi $\{2, 5\}$, Ravon $\{4, 7\}$, Tyrone $\{6, 10\}$,

검토

합리성 확인: 각자의 쌍이 점수와 맞는지 확인: $1+3=4\checkmark, 2+5=7\checkmark, 4+7=11\checkmark, 6+10=16\checkmark, 8+9=17\checkmark$. $1$부터 $10$까지 모든 카드가 정확히 한 번씩 등장. 총합 $4+7+11+16+17 = 55 = 1+2+\cdots+10$. 모두 들어맞고 (C)가 유일한 참.

대안 접근: 도구 #4 (격자 논리) — 사람 $\times$ 카드 의 $5 \times 10$ 격자를 그립니다. Oscar 행에서 $1, 3$만 표시 (합 $4$ 인 유일한 쌍). 그 카드들을 다른 행에서 모두 X. Aditi 행에 합 $7$ 가능한 것 표시 — $\{2, 5\}$만 남음. 이 과정을 반복하면 같은 결과가 격자로 깔끔하게 나옴.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

1.OA.A.1 $20$ 이내 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 (각 점수 ($4, 7, 11, 16, 17$, 모두 $20$ 이하)를 두 개의 서로 다른 양의 정수의 합으로 분해.)
2.OA.B.2 $20$ 이내 덧셈·뺄셈 암산 (Tyrone $16$에 대해 $\{6,10\}$과 $\{7,9\}$ 같은 두 후보를 빠르게 열거하고 남은 풀과 대조.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 2학년 때 배운 덧셈 사실만 알면 풀 수 있어요! 가장 쉬운 점수부터 — Oscar 의 $4$는 $1+3$ 하나뿐. 그 카드들을 다른 사람의 후보에서 지우면 퍼즐이 한 명씩 무너집니다. Ravon 은 $4$와 $7$을 받으니 진술 (C)가 참.