AMC 10 · 2021 · #8

쉬운 모드 학년 5

문제

$15$ 행 $15$ 열짜리 빈 격자판을 떠올려봅시다.

Mr. Zhou는 칸 하나에 한 숫자씩 $1, 2, 3, \dots, 225$ 를 적어 넣습니다. 가장 먼저 정중앙 칸( $8$ 행 $8$ 열)에 $1$ 을 적어요. 다음 칸인 오른쪽에 $2$ , 그 아래에 $3$ 을 적고, 이렇게 시계 방향으로 빙글빙글 돌며 바깥쪽으로 나선을 그려 나갑니다. 아래 그림이 나선의 시작 부분이에요.

격자에서 위쪽부터 두 번째 줄을 봅시다.

이 줄에 들어있는 수 중에서 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

367

(B)

368

(C)

369

(D)

379

(E)

380

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Zhou 선생님이 $15 \times 15$ 격자의 한가운데 칸($8$ 행 $8$ 열)에 $1$을 쓰고, $2, 3, \dots, 225$를 시계 방향 나선으로 바깥으로 한 칸씩 채웁니다. 위에서 두 번째 줄에 나타나는 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합을 구하세요.

주어진 것: $15 \times 15$ 격자에 $1$부터 $225 = 15^2$까지 빠짐없이 채움; $1$은 한가운데 ($8$ 행 $8$ 열); 나선은 시계 방향 — 그림 예: $1$ 동쪽으로 $2$, 남쪽으로 $3$, 서쪽으로 $4, 5$, 북쪽으로 $6, 7$, 동쪽으로 $8, 9, 10$ ...; 선택지: (A) $367$, (B) $368$, (C) $369$, (D) $379$, (E) $380$

구하는 것: 위에서 두 번째 줄(2행)의 최댓값과 최솟값의 합

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제로): 주어진 $7 \times 7$ 부분 그림이 이미 작은 버전 — 이로부터 나선 규칙을 배우고 $15 \times 15$로 확장. 도구 #5(패턴 찾기): $k$ 링의 오른쪽 위 모서리는 홀수 제곱 $(2k-1)^2$, 각 링은 $8k$ 칸 (동$1$+남$(2k-1)$+서$2k$+북$2k$+동$2k$). 도구 #1(그림 그리기): 바깥 두 링($7$ 링, $8$ 링)만 스케치해 $2$ 행 위치 파악. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): $2$ 행을 '$8$ 링에 속하는 양 끝 두 칸' 과 '$7$ 링 윗변에 속하는 가운데 $13$ 칸' 으로 분리해 각각 최대/최소를 찾음.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

모서리 제곱수 찾기

그림에서 나선 모서리 패턴이 보임: $1 = 1^2$ (중심), $9 = 3^2$ ($3 \times 3$ 링 오른쪽 위), $25 = 5^2$ ($5 \times 5$ 링 오른쪽 위).
일반화: $k$ 링의 오른쪽 위 모서리 $= (2k-1)^2$.
확인: $7^2=49,\ 9^2=81,\ 11^2=121,\ 13^2=169,\ 15^2=225$.

$$k\text{번째 링 오른쪽 위} = (2k-1)^2$$

💡 4학년 수 패턴 — 홀수 제곱 $1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225$가 모서리에 정렬.

#1 그림 그리기 4.OA.C.5 단계 2

이동 규칙 익히기

$7 \times 7$ 그림으로 한 링에서 다음 링으로 가는 이동 순서를 학습.
모서리 $9$ 에서 $25$까지: $10$ 동, $11, 12, 13$ 남, $14, 15, 16, 17$ 서, $18, 19, 20, 21$ 북, $22, 23, 24, 25$ 동.
일반화: $(2k-1)^2$ 에서 $(2k+1)^2$까지 동$1$, 남$(2k-1)$, 서$2k$, 북$2k$, 동$2k$ — 합계 $8k$ 칸 (새 링의 둘레).

$$(2k+1)^2 - (2k-1)^2 = 8k \;\checkmark$$

💡 4학년 패턴 규칙 — 각 링 둘레 $8k$ 가 이동 칸 수와 일치.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.B.3 단계 3

7번째 고리 따라가기

$15 \times 15$의 바깥 두 링으로 줌인.
$7$ 번째 링은 $13 \times 13$ 외곽 — 그 오른쪽 위 모서리 $169 = 13^2$는 $2$ 행 $14$ 열에 위치.
역추적: $169$ 에서 끝나는 동쪽 이동은 $2$ 행 $3$ 열의 $158$ 에서 시작 ($169 - 158 = 11$ 보 동쪽 = $14 - 3$ 열차이 일치).
따라서 $2$ 행의 $3$ 열~$14$ 열에는 $158, 159, \dots, 169$가 순서대로 놓임.

$$\text{2행 3열~14열} \;\to\; 158, 159, \dots, 169$$

💡 5학년 수 패턴 — 동쪽 한 칸마다 값이 $1$ 씩 증가.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 4

직전 모서리로 되돌아가기

그 직전 북쪽 이동($7$ 링 왼쪽 변)이 $2$ 행 $2$ 열에서 끝남.
그 이동은 $13$ 행 $2$ 열의 $146$ 에서 시작, $11$ 보 북진하여 $146 + 11 = 157$ 에서 끝남.
그래서 $2$ 행 $2$ 열 $= 157$.
종합: $2$ 행의 $7$ 링 내부($2$~$14$ 열) 값은 $157, 158, \dots, 169$.

$$\text{2행 2열} = 157;\ \text{2행 2~14열} \;\to\; 157, 158, \dots, 169$$

💡 3학년 차례대로 세기 — 나선 한 보마다 값 $+1$.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 5

바깥 고리 따라가기

이제 $8$ 링($15 \times 15$ 외곽).
$169$ 직후의 $170$은 동쪽 한 보 이동하여 $2$ 행 $15$ 열.
이후 남쪽 이동으로 $171, \dots, 183$이 $3$~$15$ 행 $15$ 열에 채워짐.
그리고 바닥(서)·왼쪽(북) 변까지 채운 뒤 북쪽 이동이 $1$ 행 $1$ 열에서 $211$로 끝남.
따라서 $2$ 행 $1$ 열은 $211$의 한 보 전 $= 210$.

$$\text{2행 15열} = 170;\quad \text{2행 1열} = 210$$

💡 3학년 이어 세기 — $8$ 링은 $64$ 칸($170$~$225$)을 네 변에 정확히 배치.

#3 가능성 지우기 3.NBT.A.2 단계 6

최대와 최소 더하기

$2$ 행 전체: $1$ 열~$15$ 열 $\to$ $210, 157, 158, 159, \dots, 169, 170$.
최댓값 $210$, 최솟값 $157$.
합: $210 + 157 = 367$.

$$\max + \min = 210 + 157 = 367 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 3학년 $1000$ 이내 덧셈 — $210 + 157 = 367$, 선택지 (A) 일치.

[1] #5 4.OA.C.5 그림에서 나선 모서리 패턴이 보임: $1 = 1^2$ (중심), $9 = 3^2$ ($3 \times 3$ 링 오른쪽 위), $25 = 5^2$

[2] #1 4.OA.C.5 $7 \times 7$ 그림으로 한 링에서 다음 링으로 가는 이동 순서를 학습. 모서리 $9$ 에서 $25$까지: $10$ 동, $11, 12,

[3] #7 5.OA.B.3 $15 \times 15$의 바깥 두 링으로 줌인. $7$ 번째 링은 $13 \times 13$ 외곽 — 그 오른쪽 위 모서리 $169 = 13

[4] #7 3.NBT.A.2 그 직전 북쪽 이동($7$ 링 왼쪽 변)이 $2$ 행 $2$ 열에서 끝남. 그 이동은 $13$ 행 $2$ 열의 $146$ 에서 시작, $11$

[5] #7 3.NBT.A.2 이제 $8$ 링($15 \times 15$ 외곽). $169$ 직후의 $170$은 동쪽 한 보 이동하여 $2$ 행 $15$ 열. 이후 남쪽 이동

[6] #3 3.NBT.A.2 $2$ 행 전체: $1$ 열~$15$ 열 $\to$ $210, 157, 158, 159, \dots, 169, 170$. 최댓값 $210$, 최

검토

합리성 확인: 합리성: $2$ 행 모든 값은 $\{157, 158, \dots, 170\} \cup \{210\}$ 안 — 모두 $1$~$225$ 범위. 극값 $\min = 157$, $\max = 210$, 합 $367$은 $300$~$450$의 합리적 구간. 선택지 중 오직 (A) $367$만 '중간 띠 값 + 외곽 링 값' 의 깔끔한 정수 분해와 일치.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) + 도구 #6(추측하고 확인하기): $2$ 행을 칸별로 직접 적기. $169$($2$ 행 $14$ 열)에서 출발해 서쪽으로 한 칸씩 $1$ 씩 감소($168, 167, \dots, 157$까지)하여 $2$ 행 $2$ 열에 도달 — 최솟값 $157$. 바깥 링: $2$ 행 $15$ 열 $= 170$, $2$ 행 $1$ 열 $= 210$ — 최댓값 $210$. 합 $367$. 동일한 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 생성하기 (나선의 링 모서리 패턴 $(2k-1)^2$와 링 둘레 $8k$ 규칙 발견.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수치 패턴 생성하고 관계 파악하기 ($169$ 에서 끝나는 동쪽 이동에서 열 위치와 값의 대응 추적.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이내 능숙한 덧셈·뺄셈 ($146 + 11 = 157$, $158 + 11 = 169$, $210 + 157 = 367$ 등 모든 합산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 수 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 나선 모서리는 홀수 제곱 $(2k-1)^2$ 라서 $7$ 링이 $2$ 행 $14$ 열의 $169$ 에서 끝나고, 윗변은 $157$부터 $169$까지, 바깥 $8$ 링이 $1$ 열에 $210$, $15$ 열에 $170$을 둠. 최댓값+최솟값 $= 210 + 157 = 367$, 답 (A).