AMC 10 · 2025 · #5

쉬운 모드 학년 5

문제

다음은 올라갔다가 다시 내려오기를 반복하는 수의 목록입니다:
$1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, \dots$
각 "언덕"은 바로 앞 언덕보다 한 칸 더 높이 세었다가 다시 $1$ 까지 내려옵니다. $2025$ 번째 자리에는 어떤 수가 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수로 이루어진 수열이 오르내리는 "산 모양"을 반복한다: $1,2,1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,1,\dots$. 이 수열의 $2025$번째 항의 값을 구하라.

주어진 것: 수열은 $1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, \dots$로 시작한다; $1,2,\dots,k$까지 올라간 뒤 다시 $1$로 내려오며, 각 산은 앞의 산보다 한 칸 더 높이 올라간다; 선택지: (A) $5$, (B) $15$, (C) $16$, (D) $44$, (E) $45$

구하는 것: $2025$번째 자리에 놓인 값

이해

문제 재정리: 양의 정수로 이루어진 수열이 오르내리는 "산 모양"을 반복한다: $1,2,1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,1,\dots$. 이 수열의 $2025$번째 항의 값을 구하라.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

2025개의 항을 모두 나열하는 것은 불가능하므로, 어떤 자리든 곧바로 건너뛰게 해 주는 규칙을 찾는 것이 승부처다. 이렇게 수가 반복되는 문제에는 도구 #5(패턴 찾기)가 제격이다. 핵심은 모든 항을 좇지 않는 것 — 대신 완전제곱수 자리($1, 4, 9, 16, 25, \dots$)만 지켜보며 거기에 어떤 값이 놓이는지 읽어낸다. 깔끔한 규칙이 나오면 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $2025$가 완전제곱수인지 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지 $44$와 $45$ 사이의 고전적인 하나 차이 함정을 막는다.

실행 — 정답: E

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

산 모양 구조 파악하기

수열을 덩어리로 읽어 보자.
$1, 2, 3, \dots$으로 새로운 꼭대기까지 올라갔다가 다시 $1$로 걸어 내려오고, 다음 산은 앞의 산보다 한 칸 더 높이 올라간다.
그러니 이 수들은 무작위가 아니라 엄격한 오르내림 규칙을 따른다.

$$\underbrace{1}_{}\;\underbrace{2,1}_{}\;\underbrace{2,3,2,1}_{}\;\underbrace{2,3,4,3,2,1}_{}\;\dots$$

💡 오르내림이 반복되는 모양을 알아채면 항을 하나하나 읽을 필요가 없어진다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

제곱수 자리 살펴보기

모든 항을 좇는 대신, 완전제곱수인 자리만 골라 주어진 수열에서 그 값을 바로 읽는다.
$1$번 자리는 $1$, $4$번 자리는 $2$, $9$번 자리는 $3$, $16$번 자리는 $4$, $25$번 자리는 $5$.
제곱수 자리의 값은 정확히 그 제곱근이다: $n^2$번 자리에는 값 $n$이 놓인다.

$$\text{자리 }1\!\to\!1,\;\; \text{자리 }4\!\to\!2,\;\; \text{자리 }9\!\to\!3,\;\; \text{자리 }16\!\to\!4,\;\; \text{자리 }25\!\to\!5 \;\;\Rightarrow\;\; \text{자리 }n^2\!\to\! n$$

💡 제곱수 자리만 보면 거대한 목록이 한 줄짜리 규칙으로 줄어든다.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.5 단계 3

2025는 완전제곱수인가?

이 규칙은 $2025$가 완전제곱수일 때만 쓸모가 있으므로 곱셈으로 확인한다.
$\sqrt{2000}$은 대략 $45$ 부근이니, $44 \times 44 = 1936$(너무 작음)과 $45 \times 45 = 2025$(정확히 맞음)를 시도한다.
따라서 $2025 = 45^2$.

$$44^2 = 1936,\quad 45^2 = 2025 \;\Rightarrow\; 2025 = 45^2$$

💡 잘 겨냥한 곱셈 두 번이면 특별한 도구 없이도 제곱근을 콕 짚어낼 수 있다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 4

규칙 적용하고 함정 피하기

$2025 = 45^2$은 완전제곱수 자리이므로 규칙에 따라 값은 $45$이다.
하나 차이 함정을 조심하자: $2025$번 자리는 아직 올라가는 중이고, 산은 $2026$번 자리에서 꼭대기 $46$까지 더 오른다.
$44$로 내려가는 것은 한 칸 지나친 것이다.
선택지 (D) $44$가 바로 그 실수를 노린 미끼이므로, $2025$번째 항은 $45$, 즉 $\textbf{(E)}$이다.

$$\text{자리 } 2025 = 45^2 \;\Rightarrow\; \text{값} = 45 \quad \textbf{(E)}$$

💡 패턴이 답을 곧장 알려 준다; 유일한 위험은 $n^2$번 자리에서 왼쪽이나 오른쪽으로 한 칸 밀리는 것뿐이다.

[1] #5 4.OA.C.5 수열을 덩어리로 읽어 보자. $1, 2, 3, \dots$으로 새로운 꼭대기까지 올라갔다가 다시 $1$로 걸어 내려오고, 다음 산은 앞의 산보다

[2] #5 4.OA.C.5 모든 항을 좇는 대신, 완전제곱수인 자리만 골라 주어진 수열에서 그 값을 바로 읽는다. $1$번 자리는 $1$, $4$번 자리는 $2$, $9$

[3] #6 5.NBT.B.5 이 규칙은 $2025$가 완전제곱수일 때만 쓸모가 있으므로 곱셈으로 확인한다. $\sqrt{2000}$은 대략 $45$ 부근이니, $44 \ti

[4] #3 4.OA.C.5 $2025 = 45^2$은 완전제곱수 자리이므로 규칙에 따라 값은 $45$이다. 하나 차이 함정을 조심하자: $2025$번 자리는 아직 올라가는

검토

합리성 확인: 이정표에서부터 세어 교차 확인한다. 산이 $1$로 돌아오는 자리는 $1, 3, 7, 13, 21, 31, \dots$이고, 이는 $n^2 - n + 1$이다. $n = 45$이면 $45^2 - 45 + 1 = 1981$로, 여기에 $1$이 놓인다. 거기서부터 수열은 $1, 2, 3, \dots$으로 오르므로 $1981 + 44 = 2025$번 자리에는 $1 + 44 = 45$가 놓인다 — 제곱수 자리 규칙과 정확히 일치한다. 꼭대기 $46$은 $2026$번 자리에서야 나타나므로 답은 $44$나 $46$이 아니라 $45$임이 확인된다.

대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기): $n$번째 산의 최저점($1$)이 $n^2 - n + 1$번 자리에 온다고 두는데, 이는 연속한 $1$들 사이의 간격 $2, 4, 6, \dots$을 합해 얻는다. 여기에 $n - 1$칸의 오름을 더하면 $n^2$번 자리에 값 $n$이 놓인다. 관찰한 패턴을 믿는 대신 규칙을 대수적으로 증명하는 방법이지만, 제곱수 자리 값을 목록에서 그냥 읽는 것보다 손이 더 많이 간다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.C.5 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (오르내림을 반복하는 산 모양을 알아채고, $n^2$번 자리의 값이 $n$이라는 관찰로 정리한 뒤, 그 규칙을 $2025$번 자리에 적용하기.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수를 능숙하게 곱하기 ($44 \times 44$와 $45 \times 45$를 곱해 $2025 = 45^2$이 완전제곱수 자리임을 확인하기.)

⭐ 오르내리는 수열에서 완전제곱수 자리의 항은 그 제곱근과 같다 — 그래서 $45^2 = 2025$번 자리에는 그냥 $45$가 놓인다.