AMC 8 · 2000 · #14

쉬운 모드 학년 5

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문제

$19^{19} + 99^{99}$ 이라는 수를 생각해봅시다.

이 수는 엄청나게 커서 직접 적어볼 수도 없을 정도예요. 그렇지만 우리는 이 수의 맨 끝자리(일의 자리) 하나만 알면 됩니다.

$19^{19} + 99^{99}$ 의 일의 자리 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $19^{19} + 99^{99}$의 일의 자리 숫자를 구하세요.

주어진 것: 두 개의 큰 수: $19^{19}$와 $99^{99}$; 두 밑수 모두 일의 자리가 $9$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: $19^{19} + 99^{99}$의 일의 자리 숫자

이해

문제 재정리: $19^{19} + 99^{99}$의 일의 자리 숫자를 구하세요.

주어진 것: 두 개의 큰 수: $19^{19}$와 $99^{99}$; 두 밑수 모두 일의 자리가 $9$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $8$, (E) $9$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 관련 문제 풀기

$19^{19}$ 이나 $99^{99}$ 전체를 계산할 필요는 없어요 — 마지막 자리만 알면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 관련 문제 풀기)로 두 거대한 수를 같은 쉬운 질문으로 줄입니다: 두 밑수 모두 $9$로 끝나니까 "$9^n$ 의 일의 자리는 무엇인가?" 만 답하면 돼요. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)가 이어받습니다 — $9^1, 9^2, 9^3, 9^4$를 직접 계산해 길이 $2$의 주기 $9, 1, 9, 1, \dots$ 을 잡아내고, 어떤 지수든 그 자리에서 일의 자리를 읽어 냅니다. 마지막에 두 일의 자리를 더한 작은 수의 일의 자리를 답으로 씁니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 관련 문제 풀기 5.NBT.B.5 단계 1

밑을 일의 자리로 바꾸기

각 큰 밑수를 일의 자리만 남깁니다.
두 자연수를 곱할 때 곱의 일의 자리는 (한쪽의 일의 자리) $\times$ (다른 쪽의 일의 자리)의 일의 자리와 같습니다.
이 규칙을 거듭제곱에 반복해서 적용하면, $19^{19}$의 일의 자리는 $9^{19}$의 일의 자리와 같고, $99^{99}$의 일의 자리는 $9^{99}$의 일의 자리와 같습니다.

$$\text{units}(19^{19}) = \text{units}(9^{19}), \qquad \text{units}(99^{99}) = \text{units}(9^{99})$$

💡 세로 곱셈을 펼쳐 보면 곱의 일의 자리는 두 수의 일의 자리만으로 정해진다는 것이 보입니다 — 5학년 여러 자릿수 곱셈 기본 성질입니다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.B.5 단계 2

9의 거듭제곱 나열하기

$9$의 거듭제곱을 처음 몇 개 직접 적고 일의 자리만 읽습니다.
패턴이 반복되는 순간 멈춥니다.

$$9^1 = 9, \quad 9^2 = 81, \quad 9^3 = 729, \quad 9^4 = 6561$$

💡 작은 거듭제곱 네 개를 손으로 곱하는 것은 5학년 유창성 범위 안이며, 대수 없이도 주기가 드러납니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

주기 찾기

주기를 잡아냅니다.
$9^1, 9^2, 9^3, 9^4$의 일의 자리는 $9, 1, 9, 1$ — 길이 $2$의 패턴입니다.
지수가 홀수면 일의 자리는 $9$, 짝수면 $1$.

$$\text{units}(9^n) = \begin{cases} 9 & n \text{ 홀수} \\ 1 & n \text{ 짝수} \end{cases}$$

💡 짧은 나열에서 반복 규칙을 이름 붙이는 것이 4학년 "수의 패턴 만들기" 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

두 지수에 규칙 적용하기

두 지수에 규칙을 적용합니다.
$19$는 홀수이므로 $\text{units}(9^{19}) = 9$.
$99$도 홀수이므로 $\text{units}(9^{99}) = 9$.

$$\text{units}(19^{19}) = 9, \qquad \text{units}(99^{99}) = 9$$

💡 주기를 알게 되면 모든 지수 문제가 홀짝 판정 하나로 끝납니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.3 단계 5

더한 뒤 일의 자리 구하기

두 일의 자리를 더한 뒤, 그 합의 일의 자리를 다시 읽습니다.
$9 + 9 = 18$, 일의 자리는 $8$.

$$9 + 9 = 18 \;\Rightarrow\; \text{일의 자리} = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 합의 일의 자리는 두 항의 일의 자리에만 의존합니다 — 자릿값을 이용한 4학년 덧셈.

[1] #9 5.NBT.B.5 각 큰 밑수를 일의 자리만 남깁니다. 두 자연수를 곱할 때 곱의 일의 자리는 (한쪽의 일의 자리) $\times$ (다른 쪽의 일의 자리)의 일

[2] #5 5.NBT.B.5 $9$의 거듭제곱을 처음 몇 개 직접 적고 일의 자리만 읽습니다. 패턴이 반복되는 순간 멈춥니다.

[3] #5 4.OA.C.5 주기를 잡아냅니다. $9^1, 9^2, 9^3, 9^4$의 일의 자리는 $9, 1, 9, 1$ — 길이 $2$의 패턴입니다. 지수가 홀수면 일의

[4] #5 4.OA.C.5 두 지수에 규칙을 적용합니다. $19$는 홀수이므로 $\text{units}(9^{19}) = 9$. $99$도 홀수이므로 $\text{unit

[5] #5 4.OA.A.3 두 일의 자리를 더한 뒤, 그 합의 일의 자리를 다시 읽습니다. $9 + 9 = 18$, 일의 자리는 $8$.

검토

합리성 확인: 작은 경우로 규칙을 확인합니다. $9^3 + 9^3 = 729 + 729 = 1458$, 일의 자리는 $8$ — 두 지수 모두 홀수이므로 각 항의 일의 자리가 $9$, 합은 $9 + 9 = 18 \to 8$. 본 문제와 모양이 같습니다. 선택지 중 $9 + 9$의 꼬리 $8$과 맞는 것은 (D) 뿐입니다. 또한, 홀수 지수 두 개의 $9$ 끼리 더하면 $18$ 이지 $9$가 아니므로 (E) $9$는 답이 될 수 없습니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 $99 \bmod 2$만 확인하기: 지수 홀짝에 따른 표를 작게 만듭니다 — 짝수 $\to 1$, 홀수 $\to 9$. $19 \to 9$, $99 \to 9$를 대입해 더하면 $18$, 일의 자리는 $8$. $9 \times 9 = 81$ 이외의 큰 곱셈 없이 같은 답 (D)가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.B.5 여러 자릿수 자연수의 유창한 곱셈 (각 밑수를 일의 자리만 남기는 데(세로 곱셈 알고리즘으로 곱의 일의 자리가 두 수의 일의 자리에만 의존함을 확인)와 $9^2 = 81, 9^3 = 729, 9^4 = 6561$을 손으로 계산해 주기를 드러내는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만들고, 규칙에 명시되지 않은 특징을 찾아내기 ($9^n$ 의 일의 자리에서 길이 $2$의 주기 $9, 1, 9, 1, \dots$ 을 이름 붙이고, $\text{units}(9^{19})$와 $\text{units}(9^{99})$를 읽어 내는 홀짝 규칙으로 정리하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 자연수 다단계 문장제를 자연수 답으로 풀기 (두 일의 자리 $9 + 9 = 18$을 더하고 그 일의 자리 $8$을 최종 답으로 읽는 데 사용.)

⭐ 마지막 자리만 보면 됩니다: $9$의 거듭제곱은 $9$와 $1$을 번갈아 가져요. 두 지수 모두 홀수라 각 항의 끝은 $9$, $9 + 9 = 18$의 일의 자리는 $8$.