경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2000 · #14
학년 5 arithmeticnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
19¹⁹ 이나 99⁹⁹ 전체를 계산할 필요는 없어요 — 마지막 자리만 알면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 관련 문제 풀기)로 두 거대한 수를 같은 쉬운 질문으로 줄입니다: 두 밑수 모두 9로 끝나니까 "9ⁿ 의 일의 자리는 무엇인가?" 만 답하면 돼요. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)가 이어받습니다 — 9¹, 9², 9³, 9⁴를 직접 계산해 길이 2의 주기 9, 1, 9, 1, … 을 잡아내고, 어떤 지수든 그 자리에서 일의 자리를 읽어 냅니다. 마지막에 두 일의 자리를 더한 작은 수의 일의 자리를 답으로 씁니다.
밑을 일의 자리로 바꾸기
마지막 자리만 중요하니 각 밑수는 일의 자리 9 로 줄어듭니다.
세로 곱셈을 펼쳐 보면 곱의 일의 자리는 두 수의 일의 자리만으로 정해진다는 것이 보입니다 — 5학년 여러 자릿수 곱셈 기본 성질입니다.
5.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem9의 거듭제곱 나열하기
9의 거듭제곱을 몇 개 적고 일의 자리만 읽으며, 패턴이 반복되는 순간 멈춥니다.
작은 거듭제곱 네 개를 손으로 곱하는 것은 5학년 유창성 범위 안이며, 대수 없이도 주기가 드러납니다.
5.NBT.B.5Look For A Pattern주기 찾기
일의 자리는 9, 1, 9, 1 로 순환 — 길이 2: 지수가 홀수면 9, 짝수면 1.
짧은 나열에서 반복 규칙을 이름 붙이는 것이 4학년 "수의 패턴 만들기" 그대로입니다.
일의 자리가 9인 자연수의 거듭제곱은 일의 자리가 두 단계 주기로 반복된다. 지수가 홀수이면 일의 자리는 9, 짝수이면 1이다.
▸ 왜?
다음 거듭제곱은 앞의 거듭제곱에 9를 곱한 것이고, 그 곱의 일의 자리는 앞 수의 일의 자리만으로 정해지므로, 일의 자리들은 더 높은 자리를 무시한 채 그들끼리 하나의 수열을 이룬다.
▸ 왜?
곱하는 수를 일의 자리와 십의 자리 이상 부분으로 나누면, (일의 자리 곱하기 9) 부분만이 답의 일의 자리에 닿을 수 있다.
▸ 왜?
한 인수를 합으로 쪼갠 뒤 각 부분에 따로 9를 곱하는 것은, 곱을 합에 나누어 펼치게 해 주는 바로 그 법칙이다.
▸ 왜?
십의 자리 이상 부분에 9를 곱해도 여전히 십의 배수이고, 십의 배수는 일의 자리가 0이므로 전체의 일의 자리를 바꿀 수 없다.
▸ 왜?
그 일의 자리만 따라가면, 9로 끝나는 수에 9를 곱하면 1로 끝나고 1로 끝나는 수에 9를 곱하면 9로 끝나므로, 일의 자리는 9, 1, 9, 1로 뒤집히며 두 번 곱할 때마다 처음 자리로 돌아온다.
▸ 왜?
같은 고정 횟수마다 항상 같은 값으로 돌아오는 단계는 반복 주기이므로, 지수가 둘 차이 나면 일의 자리가 같고, 길이 2의 이 패턴이 지수의 홀짝만으로 모든 경우를 정한다.
두 지수에 규칙 적용하기
지수 19와 99 모두 홀수이므로 units(9¹⁹) = units(9⁹⁹) = 9.
주기를 알게 되면 모든 지수 문제가 홀짝 판정 하나로 끝납니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern더한 뒤 일의 자리 구하기
두 일의 자리를 더하면 9 + 9 = 18, 그 일의 자리는 8.
합의 일의 자리는 두 항의 일의 자리에만 의존합니다 — 자릿값을 이용한 4학년 덧셈.
4.OA.A.3Look For A Pattern마지막 자리만 보면 됩니다: 9의 거듭제곱은 9와 1을 번갈아 가져요. 두 지수 모두 홀수라 각 항의 끝은 9, 9 + 9 = 18의 일의 자리는 8.
- 밑을 일의 자리로 바꾸기
- 9의 거듭제곱 나열하기
- 주기 찾기
- 두 지수에 규칙 적용하기
- 더한 뒤 일의 자리 구하기
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