AMC 8 · 2007 · #18

쉬운 모드 학년 5

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문제

매우 긴 두 수가 있어요. 각각 $99$ 자리예요.

$303,030,303,\ldots,030,303$ 과 $505,050,505,\ldots,050,505$

첫 번째 수는 " $03$ "이라는 패턴이 계속 반복돼서 만들어져요. 두 번째 수는 " $05$ "가 계속 반복돼서 만들어져요. 그래서 첫 번째 수는 끝이 $3$ 으로, 두 번째 수는 끝이 $5$ 로 끝나요.

이제 이 두 큰 수를 곱해서 나온 값을 "곱"이라고 합시다.

곱을 자세히 보세요. 곱의 일의 자리(맨 오른쪽 숫자)를 $B$ 라고 부릅니다. 곱의 천의 자리(오른쪽에서 네 번째 숫자)를 $A$ 라고 부릅니다.

$A + B$ 의 값은 얼마일까요?

그림

두 수 모두 두 자리 블록이 반복돼요. A와 B는 오른쪽 끝 네 자리 창만 보면 정해져요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 개의 $99$ 자리 수 $N_1 = 303{,}030{,}303{,}\dots{,}030{,}303$과 $N_2 = 505{,}050{,}505{,}\dots{,}050{,}505$를 곱합니다. 그 곱의 천의 자리 숫자를 $A$, 일의 자리 숫자를 $B$ 라 할 때 $A + B$ 를 구하세요.

주어진 것: $N_1$은 $3,0,3,0,3,\dots,0,3$ 패턴으로 $99$ 자리 (마지막 네 자리는 $0303$); $N_2$는 $5,0,5,0,5,\dots,0,5$ 패턴으로 $99$ 자리 (마지막 네 자리는 $0505$); $A$ = $N_1 \times N_2$의 천의 자리 숫자; $B$ = $N_1 \times N_2$의 일의 자리 숫자; 선택지: (A) $3$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $10$

구하는 것: $A + B$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

핵심은 도구 #16(관점 바꾸기)입니다. $198$ 자리 전체 곱을 계산하는 대신, 정말 필요한 것 — 곱의 마지막 네 자리 — 에만 초점을 맞춥니다. 곱셈을 세로로 적어 보면, 곱의 마지막 네 자리는 두 수의 마지막 네 자리에만 영향을 받습니다. 그 위쪽 자리들은 만의 자리 이상으로만 올라가고 다시 내려오지 않으니까요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 짧은 버전($30303 \times 50505$ 또는 $303 \times 505$)을 직접 풀어 보면 같은 마지막 네 자리가 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

실행 — 정답: D

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 5.NBT.A.1 단계 1

끝 네 자리에 집중하기

관심사를 전체 곱에서 마지막 네 자리로 좁힙니다.
천의 자리와 일의 자리는 둘 다 마지막 네 자리 안에 있으니, 그 위 자리는 신경 쓸 필요가 없습니다.
세로 곱셈을 떠올려 보면, 곱의 각 자리는 두 인수의 같은 자리 이하 자리에서만 만들어집니다.
왼쪽으로 멀리 있는 숫자는 일·십·백·천의 자리에 영향을 줄 수 없습니다.

$$N_1 \times N_2\text{의 마지막 4자리} = (N_1\text{의 마지막 4자리}) \times (N_2\text{의 마지막 4자리})\text{의 마지막 4자리}$$

💡 5학년 자릿값 원리: 만의 자리 이상의 숫자는 일·십·백·천 자리로 내려올 수 없습니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 5.NBT.A.1 단계 2

각 수의 끝자리 읽기

각 수의 마지막 네 자리를 읽어냅니다.
$N_1$은 $3,0,3,0,3,\dots,0,3$ 패턴이고 끝이 $3$ 이므로 마지막 네 자리는 $0303$.
$N_2$는 $5,0,5,0,5,\dots,0,5$ 패턴이므로 마지막 네 자리는 $0505$.

$$N_1\text{의 마지막 4자리} = 0303 = 303,\quad N_2\text{의 마지막 4자리} = 0505 = 505$$

💡 여러 자리 수의 오른쪽 네 자리를 읽는 것은 5학년 자릿값 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.B.5 단계 3

두 작은 수 곱하기

두 작은 수를 부분곱 방식으로 곱합니다.

$$303 \times 505 = 300 \times 500 + 300 \times 5 + 3 \times 500 + 3 \times 5 = 150000 + 1500 + 1500 + 15 = 153015$$

💡 $99$ 자리 두 수를 $3$ 자리 두 수로 바꾸는 것이 "더 쉬운 문제로 줄이기"입니다. $303 \times 505$는 5학년 표준 곱셈.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 5.NBT.A.1 단계 4

끝 네 자리 읽어 내기

$153015$의 마지막 네 자리를 떼어 내면 전체 곱의 마지막 네 자리가 됩니다.
거기서 천의 자리($A$)와 일의 자리($B$)를 읽어 더합니다.

$$153015\text{의 마지막 4자리} = 3015 \;\Rightarrow\; A = 3,\; B = 5 \;\Rightarrow\; A + B = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 쓰여 있는 숫자에서 천의 자리와 일의 자리를 짚어내는 것은 5학년 자릿값 정의 그대로입니다.

[1] #16 5.NBT.A.1 관심사를 전체 곱에서 마지막 네 자리로 좁힙니다. 천의 자리와 일의 자리는 둘 다 마지막 네 자리 안에 있으니, 그 위 자리는 신경 쓸 필요가

[2] #16 5.NBT.A.1 각 수의 마지막 네 자리를 읽어냅니다. $N_1$은 $3,0,3,0,3,\dots,0,3$ 패턴이고 끝이 $3$ 이므로 마지막 네 자리는 $03

[3] #9 5.NBT.B.5 두 작은 수를 부분곱 방식으로 곱합니다.

[4] #16 5.NBT.A.1 $153015$의 마지막 네 자리를 떼어 내면 전체 곱의 마지막 네 자리가 됩니다. 거기서 천의 자리($A$)와 일의 자리($B$)를 읽어 더합

검토

합리성 확인: 짧은 버전으로 확인해 봅시다. $N_1' = 30303$, $N_2' = 50505$ ($5$ 자리짜리 같은 패턴)로 두면 $30303 \times 50505 = 30303 \times 50000 + 30303 \times 505 = 1{,}515{,}150{,}000 + 15{,}303{,}015 = 1{,}530{,}453{,}015$. 마지막 네 자리는 $3015$ — $303 \times 505$ 에서 얻은 값과 정확히 같습니다. 따라서 천의 자리는 $3$, 일의 자리는 $5$, $A + B = 8$로 답 (D)와 일치합니다. 더 긴 인수에서 같은 마지막 네 자리가 나오는 이유가 바로 1단계에서 사용한 자릿값 원리입니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)만으로도 가능합니다. 짧은 버전 $30303 \times 50505$ 또는 $303 \times 505$를 직접 계산해도 결과는 매번 $\dots 3015$로 끝납니다. 다섯 번째 자리 이상의 숫자들은 곱에서 만의 자리 이상으로만 올라가기 때문입니다. 따라서 천의 자리 $3$, 일의 자리 $5$, $A + B = 3 + 5 = 8$ — 답은 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.A.1 자릿값 체계 이해하기 (곱의 천의 자리와 일의 자리가 두 인수의 마지막 네 자리에만 좌우된다는 사실을 인식하고, 결과 $3015$ 에서 $A$ (천의 자리)와 $B$ (일의 자리)를 읽어내는 데 사용.)
5.NBT.B.5 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수 곱하기 (부분곱 방식으로 $303 \times 505 = 153015$를 계산해 전체 곱의 마지막 네 자리를 얻는 데 사용.)

⭐ 엄청 큰 곱이라도 마지막 몇 자리만 필요할 땐 왼쪽 자리들을 다 버려도 돼요 — 5학년 자릿값으로 이 AMC 8 문제가 간단한 곱셈 하나로 줄어듭니다.

그림