AMC 8 · 2007 · #9

쉬운 모드 학년 4

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문제

$4 \times 4$ 격자판을 떠올려봅시다. 몇 칸에는 숫자가 적혀 있고, 나머지 칸은 비어 있어요.

규칙은 이래요. 각 가로줄에는 숫자 $1, 2, 3, 4$ 가 각각 한 번씩만 나와야 해요. 각 세로줄에도 마찬가지로 $1, 2, 3, 4$ 가 각각 한 번씩만 나와야 해요.

격자판은 다음과 같습니다:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & 2 &\\ \hline 2 & 3 & &\\ \hline & &&4\\ \hline & &&\\ \hline\end{array}$

오른쪽 맨 아래 칸(가장 오른쪽 아래 모서리)에 들어갈 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1$

(B)

$2$

(C)

$3$

(D)

$4$

(E)

cannot be determined

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $4 \times 4$ 격자를 채우려고 합니다. 각 행과 각 열에 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 정확히 한 번씩 들어가야 하고, 몇 칸은 이미 채워져 있습니다. 오른쪽 아래 칸에 들어갈 숫자를 구하세요.

주어진 것: 격자는 $4 \times 4$; $1$ 행: $1$ 열에 $1$, $3$ 열에 $2$; $2$ 행: $1$ 열에 $2$, $2$ 열에 $3$; $3$ 행: $4$ 열에 $4$; 각 행은 $1$, $2$, $3$, $4$를 정확히 한 번씩 사용; 각 열도 $1$, $2$, $3$, $4$를 정확히 한 번씩 사용; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 결정할 수 없음

구하는 것: 오른쪽 아래 칸 $(4,4)$에 들어갈 숫자

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #1 그림 그리기

$(4,4)$는 $4$ 열에 있습니다. 규칙에 따라 $4$ 열에는 $1$, $2$, $3$, $4$가 모두 들어가야 하죠. $4$ 열의 네 칸 중 세 칸은 이미 숫자가 있거나, 같은 행에 같은 숫자가 있어 후보가 막힙니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 $(4,4)$의 후보를 하나씩 지우면 결국 한 숫자만 남습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 행·열 충돌을 한눈에 보기 위해 격자를 옆에 두는 역할입니다. 대수는 필요 없고, 행·열 점검만으로 충분합니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 3.OA.D.9 단계 1

4번 열 표시하기

격자를 그리고 $4$ 열의 네 칸을 표시합니다.
우리가 구하려는 칸은 $(4,4)$입니다.
나머지 세 칸은 각자의 행과 비교해 어떤 숫자가 들어갈 수 있고 없는지 따져보면 됩니다.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & & 2 & ? \\ \hline 2 & 3 & & ? \\ \hline & & & 4 \\ \hline & & & ? \\ \hline \end{array}$$

💡 격자를 직접 그리면 행·열 규칙이 눈에 들어옵니다. 각 행과 각 열은 $1$~$4$를 정확히 한 번씩 가져야 한다는 3학년 패턴 인식 단계입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 2

이미 있는 4 제외하기

$(3,4)$가 이미 $4$ 이므로 $4$ 열의 $4$는 이 칸에 들어갔습니다.
따라서 $(1,4)$, $(2,4)$, $(4,4)$ 에는 $1$, $2$, $3$이 어떤 순서로든 들어가야 합니다.

$\{(1,4),\,(2,4),\,(4,4)\} = \{1,\,2,\,3\}$ (순서는 미정)

💡 이미 자리 잡은 숫자를 빼면 남은 빈 칸의 후보가 $\{1, 2, 3\}$으로 줄어듭니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 3

열에서 2의 자리 찾기

$4$ 열에서 숫자 $2$가 어디에 들어갈 수 있는지 찾습니다.
행을 보며 각 칸을 점검합니다.
$1$ 행은 $(1,3)$에 $2$가 있으므로 $(1,4) \ne 2$.
$2$ 행은 $(2,1)$에 $2$가 있으므로 $(2,4) \ne 2$.
$4$ 열에서 $2$가 들어갈 수 있는 곳은 맨 아래 $(4,4)$ 뿐입니다.

$$(1,4) \ne 2,\;(2,4) \ne 2,\;(3,4) = 4 \;\Rightarrow\; (4,4) = 2$$

💡 한 열을 골라서 숫자 $2$가 못 들어가는 칸을 차례로 지우면, 남는 칸이 자동으로 그 숫자의 자리가 됩니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 4

답 읽어 내기

따라서 $(4,4) = 2$이고, 답은 선택지 (B)입니다.

$$(4,4) = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 후보 중 정확히 한 숫자만 남았으므로 답이 결정됩니다 — (E) "결정할 수 없음" 도 자연히 배제됩니다.

[1] #1 3.OA.D.9 격자를 그리고 $4$ 열의 네 칸을 표시합니다. 우리가 구하려는 칸은 $(4,4)$입니다. 나머지 세 칸은 각자의 행과 비교해 어떤 숫자가 들어

[2] #3 4.OA.C.5 $(3,4)$가 이미 $4$ 이므로 $4$ 열의 $4$는 이 칸에 들어갔습니다. 따라서 $(1,4)$, $(2,4)$, $(4,4)$ 에는 $1

[3] #3 4.OA.C.5 $4$ 열에서 숫자 $2$가 어디에 들어갈 수 있는지 찾습니다. 행을 보며 각 칸을 점검합니다. $1$ 행은 $(1,3)$에 $2$가 있으므로

[4] #3 4.OA.C.5 따라서 $(4,4) = 2$이고, 답은 선택지 (B)입니다.

검토

합리성 확인: 격자를 끝까지 채워서 규칙이 잘 지켜지는지 확인해 봅시다. $1$ 행에는 $(1,2)$와 $(1,4)$에 $3$과 $4$가 들어가야 합니다. $2$ 열에는 이미 $(2,2)$에 $3$이 있으므로 $(1,2) \ne 3$ → $(1,2) = 4$, $(1,4) = 3$. 그러면 $4$ 열에는 $(1,4) = 3$, $(3,4) = 4$, $(4,4) = 2$ 이므로 $(2,4) = 1$. 모든 행과 열이 $1$, $2$, $3$, $4$를 정확히 한 번씩 쓰고, 오른쪽 아래 칸이 $2$ 라는 결론과 일치합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)로 격자 전체를 추론으로 채우는 방법: $1$ 행은 $3$과 $4$가 더 필요한데 $2$ 열에 이미 $3$이 있으므로 $1$ 행은 $1, 4, 2, 3$. $2$ 행은 $1$과 $4$가 필요하고 $3$ 열은 $1$을 받으니 $2$ 행은 $2, 3, 4, 1$. $3$ 행 앞 세 칸에는 $1, 2, 3$이 들어가야 하고 $1$ 열에 이미 $1, 2$가 있으므로 $(3,1) = 3$, 나머지를 채우면 $3$ 행은 $3, 1, 2, 4$. $4$ 행에 남은 숫자를 채워 넣으면 $(4,4)$ 에는 $4$ 열에 아직 안 쓰인 $2$가 들어가 결론이 같아집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.D.9 연산 성질을 이용해 산술 패턴을 찾고 설명하기 (각 행과 각 열에 $1$, $2$, $3$, $4$가 정확히 한 번씩 들어가는 라틴 방진(Latin square) 패턴을 인식하는 데 사용.)
4.OA.C.5 규칙을 따르는 수·도형 패턴을 만들고 그 패턴의 특징 찾기 (행·열 규칙을 $4$ 열 각 칸에 적용해 불가능한 숫자를 지우고, 오른쪽 아래 칸에 들어갈 단 하나의 숫자를 결정하는 데 사용.)

⭐ 구해야 할 칸이 있는 열만 집중해서 봅니다. 같은 행이나 같은 열 때문에 막히는 숫자를 하나씩 지우면 마지막에 남는 숫자가 답입니다.