AMC 8 · 2009 · #1

쉬운 모드 학년 4

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문제

Bridget가 가게에서 사과 한 봉지를 샀습니다. 봉지에 사과가 몇 개 들어 있었는지는 아직 모릅니다. 우리가 구해야 하는 것이 바로 그 수입니다.

먼저 Bridget는 사과의 절반을 Ann에게 주었어요. 그다음 Cassie에게 사과 3개를 주었습니다. 그러고 나서 자기 몫으로 4개를 남겼습니다.

Bridget가 처음에 산 사과는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 브리짓이 사과를 한 봉지 샀습니다. 그중 절반을 앤에게 주고, 그다음 캐시에게 $3$ 개를 주고, 마지막으로 자기 몫으로 $4$ 개를 남겼습니다. 브리짓이 처음에 산 사과는 모두 몇 개일까요?

주어진 것: 브리짓은 사과의 절반을 앤에게 주었다; 그다음 캐시에게 $3$ 개를 주었다; 마지막으로 자기 몫으로 $4$ 개를 남겼다; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $7$, (D) $11$, (E) $14$

구하는 것: 브리짓이 처음에 산 사과 개수

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

마지막 상태($4$ 개 남음)와 거기까지 간 과정(절반 주기, $3$ 개 주기)을 모두 알고 있습니다. 이런 모양은 도구 #11(거꾸로 풀기)이 가장 자연스럽습니다 — 끝에서 시작해 각 단계를 되돌리면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 시점 — "앤에게 주고 난 직후" 와 "캐시에게 주고 난 직후" — 으로 깔끔하게 나눠서, 되돌리는 동작이 한 번에 하나씩만 일어나게 해 줍니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

두 단계 이름 붙이기

되돌리기 좋게 두 시점에 이름을 붙입니다.
앤에게 절반을 주고 난 직후 브리짓이 가지고 있던 사과 개수를 $A$, 처음 산 사과 개수를 $T$ 라고 합시다.
사건 순서는 $T \to A \to 4$입니다.

$$T \xrightarrow{\text{절반을 앤에게}} A \xrightarrow{3\text{개를 캐시에게}} 4$$

💡 사건 흐름을 두 시점으로 끊어 이름을 붙이는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 핵심 — 화살표 하나당 되돌리는 동작도 하나가 됩니다.

#11 거꾸로 풀기 3.OA.D.8 단계 2

마지막 단계 되돌리기

마지막 단계를 되돌립니다.
캐시에게 $3$ 개를 주고 나서 $4$ 개가 남았으니, 주기 직전에는 $4 + 3 = 7$ 개를 가지고 있었습니다.
이게 바로 $A$ 입니다.

$$A = 4 + 3 = 7$$

💡 "$3$ 개를 줬다" 를 $+3$ 덧셈으로 되돌리는 것이 두 단계 문장제의 첫 단계입니다.

#11 거꾸로 풀기 3.OA.A.3 단계 3

첫 단계 되돌리기

이제 첫 단계를 되돌립니다.
$A = 7$은 "절반을 앤에게 주고 남은 양" 이므로, 처음 개수의 정확히 절반입니다.
따라서 처음 개수는 그 두 배입니다.

$$T = 2 \times A = 2 \times 7 = 14 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 "절반을 가져갔다" 를 되돌리는 것은 곧 $\times 2$ — 3학년 $100$ 이내 곱셈 개념입니다.

[1] #7 4.OA.A.3 되돌리기 좋게 두 시점에 이름을 붙입니다. 앤에게 절반을 주고 난 직후 브리짓이 가지고 있던 사과 개수를 $A$, 처음 산 사과 개수를 $T$

[2] #11 3.OA.D.8 마지막 단계를 되돌립니다. 캐시에게 $3$ 개를 주고 나서 $4$ 개가 남았으니, 주기 직전에는 $4 + 3 = 7$ 개를 가지고 있었습니다.

[3] #11 3.OA.A.3 이제 첫 단계를 되돌립니다. $A = 7$은 "절반을 앤에게 주고 남은 양" 이므로, 처음 개수의 정확히 절반입니다. 따라서 처음 개수는 그 두

검토

합리성 확인: $T = 14$로 이야기를 다시 앞으로 굴려서 확인해 봅시다. 브리짓은 $14$ 개에서 절반인 $7$ 개를 앤에게 주고 $7$ 개를 남깁니다. 캐시에게 $3$ 개를 주면 $7 - 3 = 4$ 개가 남고, 문제와 정확히 일치합니다. 다른 선택지는 빨리 탈락합니다 — $3$, $7$, $11$은 짝수가 아니어서 절반이 안 되고, $4$는 절반이 $2$ 라 $3$ 개를 줄 수도 없습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 짝수만 절반이 되므로 (A) $3$, (C) $7$, (D) $11$은 곧바로 탈락. (B) $4$를 시도하면 절반이 $2$ 인데 캐시에게 $3$ 개를 줄 수 없어서 실패. (E) $14$를 시도하면 절반이 $7$, $3$ 개를 빼면 $4$가 남아 문제와 정확히 맞습니다. 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (두 사건(캐시의 $3$ 개 빼기, 앤의 절반 되돌리기 위해 두 배 하기)을 거꾸로 처리하는 것이 덧셈과 곱셈을 이용한 두 단계 문장제 그 자체.)
3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈으로 문장제 해결 (처음 개수를 되찾기 위해 $7$을 두 배 하는 $2 \times 7 = 14$ 곱셈은 $100$ 이내 곱셈 문장제.)
4.OA.A.3 미지수를 포함한 자연수 다단계 문장제 해결 (처음 산 사과 개수를 미지수로 두고 연속된 연산을 따라 되찾아 가는 과정은 4학년 다단계 문장제 표준에 정확히 해당.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "거꾸로 풀기" — 끝에서 한 단계씩 되돌리기 — 만 알면 풀 수 있어요!