AMC 8 · 2010 · #14

쉬운 모드 학년 4

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문제

어떤 수의 소인수란, 그 수를 나누어떨어지게 하는 소수를 말해요. 예를 들어, $30$ 의 소인수는 $2$ , $3$ , $5$ 이고, 이들을 모두 더하면 $2 + 3 + 5 = 10$ 이에요.

$2010$ 의 소인수를 모두 찾아보세요.

그 소인수들을 모두 더하면 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

201

(E)

210

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2010$을 나누어떨어지게 하는 소수(prime) 들을 모두 찾고, 그 소수들을 더한 값을 구합니다.

주어진 것: 대상 수는 $2010$입니다; 서로 다른 소인수만 따집니다 — 같은 소수가 여러 번 나와도 한 번만 더합니다; 선택지: (A) $67$, (B) $75$, (C) $77$, (D) $201$, (E) $210$

구하는 것: $2010$의 서로 다른 소인수들의 합

이해

문제 재정리: $2010$을 나누어떨어지게 하는 소수(prime) 들을 모두 찾고, 그 소수들을 더한 값을 구합니다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

$2010$을 한 번에 인수분해하기는 부담스러우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작은 소수 ($2$, $3$, $5$, …)부터 하나씩 떼어내며 점점 작은 나눗셈 문제로 줄입니다. 매 단계가 머릿속으로 처리 가능한 작은 문제가 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 안전망 역할로, 후보 합을 다섯 선택지와 비교해 나머지를 배제하는 데 사용합니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

2로 나누기

가장 작은 소수부터 떼어냅니다.
$2010$은 $0$으로 끝나는 짝수이므로 $2$로 나눕니다.

$$2010 \div 2 = 1005$$

💡 큰 인수분해를 작은 나눗셈의 연속으로 바꾸는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 핵심입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

3으로 나누기

$1005$를 다음 소수로 확인합니다.
자릿수 합 $1+0+0+5 = 6$이 $3$의 배수이므로 $1005$는 $3$으로 나누어떨어집니다.

$$1005 \div 3 = 335$$

💡 자릿수 합 판정법은 긴 나눗셈 없이 $3$의 배수 여부를 가장 빨리 가려내는 방법입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

5로 나누기

$335$가 $5$로 나누어떨어지는지 확인합니다.
$5$로 끝나므로 가능합니다.

$$335 \div 5 = 67$$

💡 $0$ 또는 $5$로 끝나는 수는 항상 $5$의 배수입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 4

67이 소수인지 확인하기

$67$이 소수인지 판별합니다.
$\sqrt{67} \approx 8.2$ 까지의 소수만 시험하면 됩니다 — 짝수가 아니고, 자릿수 합 $6+7=13$은 $3$의 배수가 아니며, $0$ 이나 $5$로 끝나지 않고, $67 \div 7 = 9 \text{ 나머지 } 4$입니다.
따라서 $67$은 소수이고 인수분해는 끝났습니다.

$$2010 = 2 \times 3 \times 5 \times 67$$

💡 남은 몫이 소수가 되는 순간 쪼개기 연쇄가 끝납니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 5

소인수 모두 더하기

서로 다른 소인수들을 더해 답을 구합니다.

$$2 + 3 + 5 + 67 = 77 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $77$은 (C)와 일치합니다. 다른 선택지는 빠르게 배제됩니다 — (A) $67$은 $2+3+5$를 빼먹은 함정, (E) $210$은 $2010$의 자릿수를 그대로 합친 함정, (D) $201$은 $2010 \div 10$ 인 함정입니다.

[1] #7 4.OA.B.4 가장 작은 소수부터 떼어냅니다. $2010$은 $0$으로 끝나는 짝수이므로 $2$로 나눕니다.

[2] #7 4.OA.B.4 $1005$를 다음 소수로 확인합니다. 자릿수 합 $1+0+0+5 = 6$이 $3$의 배수이므로 $1005$는 $3$으로 나누어떨어집니다.

[3] #7 4.OA.B.4 $335$가 $5$로 나누어떨어지는지 확인합니다. $5$로 끝나므로 가능합니다.

[4] #7 4.OA.B.4 $67$이 소수인지 판별합니다. $\sqrt{67} \approx 8.2$ 까지의 소수만 시험하면 됩니다 — 짝수가 아니고, 자릿수 합 $6+7

[5] #3 4.NBT.B.4 서로 다른 소인수들을 더해 답을 구합니다.

검토

합리성 확인: 인수분해를 거꾸로 곱해 검산합니다: $2 \times 3 = 6$, $6 \times 5 = 30$, $30 \times 67 = 2010$. 곱이 맞아떨어지므로 소인수 집합 $\{2, 3, 5, 67\}$이 정확하고, 합 $2 + 3 + 5 + 67 = 77$도 맞습니다. 크기 감각으로도 작은 소수 셋과 중간 크기 소수 하나의 합인 $(C) 77$은 자연스러운 값입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 단독 풀이도 가능합니다. $2010$은 $2, 3, 5$로 명백히 나누어떨어지므로 $2+3+5 = 10$은 반드시 합에 포함됩니다. 각 선택지에서 $10$을 뺀 값이 $2010$의 또 다른 소인수여야 합니다 — (A) $67-10=57$은 $2010$의 인수가 아님; (B) $75-10=65$는 소수가 아님; (C) $77-10=67$, $\frac{2010}{67} = 30 = 2 \times 3 \times 5$ — 일치; (D), (E)는 $2010$ 보다 큰 인수를 요구하므로 불가능. 결과적으로 (C)만 남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 $1$-$100$ 범위의 인수쌍·배수 찾기 및 소수 식별 ($2010$을 작은 소수 ($2$, $3$, $5$)로 차례차례 나누고, 마지막 몫 $67$이 소수임을 판정하는 4학년 소인수분해 표준.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 수행 (최종 단계에서 서로 다른 소인수 네 개 $2 + 3 + 5 + 67 = 77$을 더하는 데 사용.)

⭐ $2010$ 같은 큰 수도 작은 소수부터 하나씩 떼어내면 금방 풀려요 — 4학년 인수 찾기 실력이면 충분합니다!